Cho ∆ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = AE, CD cắt BE tại O. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Đáp án đúng là: D

Ta có AB = AC (do ∆ABC cân tại A) và AD = AE (giả thiết).

Suy ra AB – AD = AC – AE.

Do đó BD = CE.

Xét ∆EBC và ∆DCB, có:

BC là cạnh chung.

$\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$ (do ∆ABC cân tại A).

BD = CE (chứng minh trên).

Do đó ∆EBC = ∆DCB (c.g.c)

Suy ra $\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$ (cặp góc tương ứng).

Suy ra ∆BOC cân tại O.

Do đó đáp án A đúng.

Ta có ∆BOC cân tại O.

Suy ra OB = OC.

Mà AB = AC (chứng minh trên)

Do đó AO là đường trung trực của cạnh BC  (1).

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\widehat{ABM}=\widehat{ACM}$ (do ∆ABC cân tại A),

BM = CM (do M là trung điểm BC)

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180°}{2}=90°$

Suy ra AM ⊥ BC tại trung điểm M của BC

Khi đó AM là đường trung trực của BC         (2)

Từ (1), (2), ta suy ra A, O, M thẳng hàng.

Do đó đáp án B đúng.

Ta có O thuộc AM (chứng minh trên).

Mà O là giao điểm của BE và CD.

Suy ra ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy tại điểm O.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.