Cho ∆ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là

Đáp án đúng là: D

Ta có AC = BC (do ∆ABC đều) và CP = BN (giả thiết).

Suy ra AC – CP = BC – BN.

Do đó AP = CN.

Xét ∆MAP và ∆PCN, có:

AM = CP (giả thiết).

$\widehat{MAP}=\widehat{PCN}\left(=60°\right)$ (do ∆ABC đều).

AP = CN (chứng minh trên).

Do đó ∆MAP = ∆PCN (c.g.c)

Suy ra MP = PN (cặp cạnh tương ứng)   (1).

Chứng minh tương tự, ta được MN = PN  (2).

Từ (1), (2), ta suy ra MP = MN = PN.

Do đó ∆MNP đều.

Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ∆ABC

Khi đó OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Xét DBOA và DBOC có:

BA = BC (do ∆ABC đều),

BO là cạnh chung,

OA = OC (chứng minh trên)

Do đó DBOA = DBOC (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ABO}=\widehat{CBO}$ (hai góc tương ứng)

Ta suy ra BO cũng là đường phân giác của ∆ABC.

Do đó $\widehat{OBM}=\widehat{OBN}=60°:2=30°$.

Chứng minh tương tự, ta được:

$\widehat{OAM}=\widehat{OAP}=30°$ và $\widehat{OCN}=\widehat{OCP}=30°$.

Xét ∆MAO và ∆NBO, có:

OA = OB (chứng minh trên).

$\widehat{OAM}=\widehat{OBN}$ (= 30°).

AM = BN (giả thiết).

Do đó ∆MAO = ∆NBO (c.g.c)

Suy ra MO = NO (cặp cạnh tương ứng)  (3).

Chứng minh tương tự, ta được NO = PO   (4).

Từ (3), (4), ta suy ra OM = ON = OP.

Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP.

Vì vậy giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.

Vậy ta chọn đáp án D.