Cho ∆ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Đường trung trực của AB cắt AM ở O. Biết OA = 4 cm. Tính OB và OC.

Đáp án đúng là: D

Ta có AC = BC (do ∆ABC đều) và CP = BN (giả thiết).

Suy ra AC – CP = BC – BN.

Do đó AP = CN.

Xét ∆MAP và ∆PCN, có:

AM = CP (giả thiết).

$\widehat{MAP}=\widehat{PCN}\left(=60°\right)$ (do ∆ABC đều).

AP = CN (chứng minh trên).

Do đó ∆MAP = ∆PCN (c.g.c)

Suy ra MP = PN (cặp cạnh tương ứng)   (1).

Chứng minh tương tự, ta được MN = PN  (2).

Từ (1), (2), ta suy ra MP = MN = PN.

Do đó ∆MNP đều.

Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ∆ABC

Khi đó OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Xét DBOA và DBOC có:

BA = BC (do ∆ABC đều),

BO là cạnh chung,

OA = OC (chứng minh trên)

Do đó DBOA = DBOC (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ABO}=\widehat{CBO}$ (hai góc tương ứng)

Ta suy ra BO cũng là đường phân giác của ∆ABC.

Do đó $\widehat{OBM}=\widehat{OBN}=60°:2=30°$.

Chứng minh tương tự, ta được:

$\widehat{OAM}=\widehat{OAP}=30°$ và $\widehat{OCN}=\widehat{OCP}=30°$.

Xét ∆MAO và ∆NBO, có:

OA = OB (chứng minh trên).

$\widehat{OAM}=\widehat{OBN}$ (= 30°).

AM = BN (giả thiết).

Do đó ∆MAO = ∆NBO (c.g.c)

Suy ra MO = NO (cặp cạnh tương ứng)  (3).

Chứng minh tương tự, ta được NO = PO   (4).

Từ (3), (4), ta suy ra OM = ON = OP.

Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP.

Vì vậy giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Vì O thuộc đường trung trực của cạnh AB nên OA = OB.

Suy ra ∆OAB cân tại O.

Do đó $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ (tính chất tam giác cân)

∆OAB có: $\widehat{OAB}+\widehat{OBA}+\widehat{AOB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $2\widehat{OAB}=180°-\widehat{AOB}$.

Do đó $\widehat{OBA}=\widehat{OAB}=\frac{180°-\widehat{AOB}}{2}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{OAD}=\widehat{ODA}=\frac{180°-\widehat{AOD}}{2}$.

Do đó $\widehat{OAB}+\widehat{OAD}=\frac{180°-\widehat{AOB}}{2}+\frac{180°-\widehat{AOD}}{2}$

$=\frac{180°}{2}-\frac{\widehat{AOB}}{2}+\frac{180°}{2}-\frac{\widehat{AOD}}{2}$

$=180°-\frac{\widehat{AOB}+\widehat{AOD}}{2}$

$=180°-\frac{180°}{2}$ (do hai góc $\widehat{AOB},\widehat{AOD}$ kề bù).

= 90°.

Suy ra ∆ABD vuông tại A.

Do đó đáp án A đúng.

Chứng minh tương tự như trên, ta được ∆CBD vuông tại C.

Do đó đáp án B đúng.

∆ABD vuông tại A: $\widehat{ADB}+\widehat{ABD}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{ADB}=90°-\widehat{ABD}$ hay $\widehat{ADO}=90°-\widehat{ABO}$.

Tương tự, ta được $\widehat{ODC}=90°-\widehat{CBO}$.

Do đó $\widehat{ADO}+\widehat{ODC}=90°-\widehat{ABO}+90°-\widehat{CBO}$

$=180°-\left(\widehat{ABO}+\widehat{CBO}\right)=180°-\widehat{ABC}$

= 180° – 70° = 110°.

Suy ra $\widehat{ADC}=110°$.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.