Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ, f (0) = 0, f '(0) ¹ 0 và thỏa mãn hệ thức f (x).f '(x) + 18x2 = (3x2 + x).f '(x) + (6x + 1).f (x), "x Î ℝ. Biết ∫232fx+2lnxdx=a+bln2+cln3 , với a, b, c là...

Đáp án đúng là: D Ta có: f (x).f '(x) + 18x2 = (3x2 + x).f '(x) + (6x + 1).f '(x) (1) +) Xét phương trình f '(x) = 0 Khi đó phương trình (1) trở thành 18x2 = 0 Û x = 0 Mà f '(0) ¹ 0 nên suy ra f '(x) ¹ 0 với mọi x +) Với x = 0 thay vào (1) ta có f '(0) = 0 (vô lí nên suy ra x = 0 không là nghiệm của phương trình) Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình (1) nên suy ra 1⇔∫fx.f'x+18x2dx=∫3x2+xf'x+6x+1fxdx ⇔∫fx.f'x+18x2dx=∫3x2+xf'x+3x2+x'fxdx ⇔12f2x+6x3=3x2+xfx+C (2) Mà f (0) = 0 nên thay x = 0 vào (2) ta thấy (2) Û C = 0 Vậy suy ra 12f2x+6x3=3x2+xfx ⇔f2x−23x2+xfx+12x3=0 ⇔f2x−6x2.fx−2xfx+12x3=0 ⇔fxfx−6x2−2xfx−6x2=0 ⇔fx−2xfx−6x2=0⇒fx=2x fx=6x2⇒f'x=2 f'x=12x Mà do f '(0) ¹ 0 nên suy ra ta chọn f (x) = 2x Khi đó ∫232fx+2lnxdx=∫234x+2lnxdx Đặt u=lnx⇒du=1xdx dv=4x+2dx⇒v=2x2+2x Nên suy ra ∫234x+2lnxdx =2x2+2xlnx23−∫232x+2dx =2x2+2xlnx23−x2+2x23 = 24ln 3 - 12ln 2 - 15 + 8 = -7 - 12ln 2 + 24ln 3. Mà ta biết ∫232fx+2lnxdx=a+bln2+cln3 Nên suy ra được a = -7, b = -12, c = 24 Khi đó: P = 2a + 3b + c = 2.(-7) + 3.(-12) + 24 = -26.

Câu hỏi:

19/08/2022 1,785

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ, f (0) = 0, f '(0) ¹ 0 và thỏa mãn hệ thức f (x).f '(x) + 18x² = (3x² + x).f '(x) + (6x + 1).f (x), "x Î ℝ.

Biết $\int_{2}^{3} [2 f (x) + 2] \ln x d x = a + b \ln 2 + c \ln 3$ , với a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức P = 2a + 3b + c.

A. P = 18;

B. P =15;

C. P = -32;

D. P = -26.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

Ta có:

f (x).f '(x) + 18x² = (3x² + x).f '(x) + (6x + 1).f '(x) (1)

+) Xét phương trình f '(x) = 0

Khi đó phương trình (1) trở thành 18x² = 0 Û x = 0

Mà f '(0) ¹ 0 nên suy ra f '(x) ¹ 0 với mọi x

+) Với x = 0 thay vào (1) ta có

f '(0) = 0 (vô lí nên suy ra x = 0 không là nghiệm của phương trình)

Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình (1) nên suy ra

$(1) \Leftrightarrow \int [f (x) . f' (x) + 18 x^{2}] d x = \int [(3 x^{2} + x) f' (x) + (6 x + 1) f (x)] d x$

$\Leftrightarrow \int [f (x) . f' (x) + 18 x^{2}] d x = \int [(3 x^{2} + x) f' (x) + {(3 x^{2} + x)}^{'} f (x)] d x$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} f^{2} (x) + 6 x^{3} = (3 x^{2} + x) f (x) + C$ (2)

Mà f (0) = 0 nên thay x = 0 vào (2) ta thấy

(2) Û C = 0

Vậy suy ra $\frac{1}{2} f^{2} (x) + 6 x^{3} = (3 x^{2} + x) f (x)$

$\Leftrightarrow f^{2} (x) - 2 (3 x^{2} + x) f (x) + 12 x^{3} = 0$

$\Leftrightarrow f^{2} (x) - 6 x^{2} . f (x) - 2 x f (x) + 12 x^{3} = 0$

$\Leftrightarrow f (x) [f (x) - 6 x^{2}] - 2 x [f (x) - 6 x^{2}] = 0$

$\Leftrightarrow [f (x) - 2 x] [f (x) - 6 x^{2}] = 0$ $\Rightarrow [\begin{matrix} f (x) = 2 x \\ f (x) = 6 x^{2} \end{matrix} \Rightarrow [\begin{matrix} f' (x) = 2 \\ f' (x) = 12 x \end{matrix}$

Mà do f '(0) ¹ 0 nên suy ra ta chọn f (x) = 2x

Khi đó

$\int_{2}^{3} [2 f (x) + 2] \ln x d x = \int_{2}^{3} (4 x + 2) \ln x d x$

Đặt $\{\begin{matrix} u = \ln x \Rightarrow d u = \frac{1}{x} d x \\ d v = (4 x + 2) d x \Rightarrow v = 2 x^{2} + 2 x \end{matrix}$

Nên suy ra $\int_{2}^{3} (4 x + 2) \ln x d x$

$= {(2 x^{2} + 2 x) \ln x|}_{2}^{3} - \int_{2}^{3} (2 x + 2) d x$

$= {(2 x^{2} + 2 x) \ln x|}_{2}^{3} - {(x^{2} + 2 x)|}_{2}^{3}$

= 24ln 3 - 12ln 2 - 15 + 8

= -7 - 12ln 2 + 24ln 3.

Mà ta biết $\int_{2}^{3} [2 f (x) + 2] \ln x d x = a + b \ln 2 + c \ln 3$

Nên suy ra được a = -7, b = -12, c = 24

Khi đó: P = 2a + 3b + c

= 2.(-7) + 3.(-12) + 24 = -26.

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x}$

A. $F (x) = - \frac{1}{x^{2}} + C;$

B. $F (x) = \frac{1}{2} \ln |x| + C;$

C. F (x) = ln |x| + C;

D. F (x) = -x² + C.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

$f (x) = \frac{1}{x} \Rightarrow F (x) = \int f (x) d x = \int \frac{1}{x} d x$

= ln |x| + C.

Câu 2

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x), y = g (x) liên tục trên [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính theo công thức

A. $S = \int_{a}^{b} |f^{2} (x) + g^{2} (x)| d x;$

B. $S = π \int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x;$

C. $S = \int_{a}^{b} |f (x) + g (x)| d x;$

D. $S = \int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x .$

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x), y = g (x) liên tục trên [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính theo công thức $S = \int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x .$

Câu 3

Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3^x là

A. $\frac{3^{x}}{x + 1} + C;$

B. 3^x.ln 3 + C;

C. $\frac{3^{x}}{\ln 3} + C;$

D. 3^x + C.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² + 2x - 4y + 6z - 2 = 0. Tọa độ tâm I của mặt cầu (S) là

A. I(1; 2; 2);

B. I(-4; 6; 2);

C. I(-1; 2; -3);

D. I(2; -4; 6).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho số phức z thỏa mãn $|z + 3 - 4 i| = \sqrt{2}$ . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (2 - i)z - 3i + 5 là một đường tròn. Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn đó.

A. Đường tròn tâm I(-1; 3), bán kính $R = 3 \sqrt{2};$

B. Đường tròn tâm I(-3; -8), bán kính $R = \sqrt{10};$

C. Đường tròn tâm I(3; 8), bán kính $R = \sqrt{10};$

D. Đường tròn tâm I(1; -3), bán kính

R = 3 \sqrt{2};

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; -1) và đường thẳng $Δ : \{\begin{matrix} x = - 3 - 3 t \\ y = 1 + t \\ z = 6 + t \end{matrix}$ . Tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng D là

A. H(3; -1; 4);

B. H(4; -2; 1);

C. H(-6; 2; 7);

D. H(6; -2; 3).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - 3 t \\ z = - 3 + 4 t \end{matrix}$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. M(3; 1; 9);

B. M(1; -4; -3);

C. Q(1; 2; -3);

D. M(3; -4; 9).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử