Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ, f (0) = 0, f '(0) ¹ 0 và thỏa mãn hệ thức f (x).f '(x) + 18x2 = (3x2 + x).f '(x) + (6x + 1).f (x), "x Î ℝ. Biết ∫232fx+2lnxdx=a+bln2+cln3 , với a, b, c là...

Đáp án đúng là: D Ta có: f (x).f '(x) + 18x2 = (3x2 + x).f '(x) + (6x + 1).f '(x) (1) +) Xét phương trình f '(x) = 0 Khi đó phương trình (1) trở thành 18x2 = 0 Û x = 0 Mà f '(0) ¹ 0 nên suy ra f '(x) ¹ 0 với mọi x +) Với x = 0 thay vào (1) ta có f '(0) = 0 (vô lí nên suy ra x = 0 không là nghiệm của phương trình) Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình (1) nên suy ra 1⇔∫fx.f'x+18x2dx=∫3x2+xf'x+6x+1fxdx ⇔∫fx.f'x+18x2dx=∫3x2+xf'x+3x2+x'fxdx ⇔12f2x+6x3=3x2+xfx+C (2) Mà f (0) = 0 nên thay x = 0 vào (2) ta thấy (2) Û C = 0 Vậy suy ra 12f2x+6x3=3x2+xfx ⇔f2x−23x2+xfx+12x3=0 ⇔f2x−6x2.fx−2xfx+12x3=0 ⇔fxfx−6x2−2xfx−6x2=0 ⇔fx−2xfx−6x2=0⇒fx=2x fx=6x2⇒f'x=2 f'x=12x Mà do f '(0) ¹ 0 nên suy ra ta chọn f (x) = 2x Khi đó ∫232fx+2lnxdx=∫234x+2lnxdx Đặt u=lnx⇒du=1xdx dv=4x+2dx⇒v=2x2+2x Nên suy ra ∫234x+2lnxdx =2x2+2xlnx23−∫232x+2dx =2x2+2xlnx23−x2+2x23 = 24ln 3 - 12ln 2 - 15 + 8 = -7 - 12ln 2 + 24ln 3. Mà ta biết ∫232fx+2lnxdx=a+bln2+cln3 Nên suy ra được a = -7, b = -12, c = 24 Khi đó: P = 2a + 3b + c = 2.(-7) + 3.(-12) + 24 = -26.

Câu hỏi:

19/08/2022 1,489

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ, f (0) = 0, f '(0) ¹ 0 và thỏa mãn hệ thức f (x).f '(x) + 18x² = (3x² + x).f '(x) + (6x + 1).f (x), "x Î ℝ.

Biết $\int_{2}^{3} [2 f (x) + 2] \ln x d x = a + b \ln 2 + c \ln 3$ , với a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức P = 2a + 3b + c.

A. P = 18;

B. P =15;

C. P = -32;

D. P = -26.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

Ta có:

f (x).f '(x) + 18x² = (3x² + x).f '(x) + (6x + 1).f '(x) (1)

+) Xét phương trình f '(x) = 0

Khi đó phương trình (1) trở thành 18x² = 0 Û x = 0

Mà f '(0) ¹ 0 nên suy ra f '(x) ¹ 0 với mọi x

+) Với x = 0 thay vào (1) ta có

f '(0) = 0 (vô lí nên suy ra x = 0 không là nghiệm của phương trình)

Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình (1) nên suy ra

$(1) \Leftrightarrow \int [f (x) . f' (x) + 18 x^{2}] d x = \int [(3 x^{2} + x) f' (x) + (6 x + 1) f (x)] d x$

$\Leftrightarrow \int [f (x) . f' (x) + 18 x^{2}] d x = \int [(3 x^{2} + x) f' (x) + {(3 x^{2} + x)}^{'} f (x)] d x$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} f^{2} (x) + 6 x^{3} = (3 x^{2} + x) f (x) + C$ (2)

Mà f (0) = 0 nên thay x = 0 vào (2) ta thấy

(2) Û C = 0

Vậy suy ra $\frac{1}{2} f^{2} (x) + 6 x^{3} = (3 x^{2} + x) f (x)$

$\Leftrightarrow f^{2} (x) - 2 (3 x^{2} + x) f (x) + 12 x^{3} = 0$

$\Leftrightarrow f^{2} (x) - 6 x^{2} . f (x) - 2 x f (x) + 12 x^{3} = 0$

$\Leftrightarrow f (x) [f (x) - 6 x^{2}] - 2 x [f (x) - 6 x^{2}] = 0$

$\Leftrightarrow [f (x) - 2 x] [f (x) - 6 x^{2}] = 0$ $\Rightarrow [\begin{matrix} f (x) = 2 x \\ f (x) = 6 x^{2} \end{matrix} \Rightarrow [\begin{matrix} f' (x) = 2 \\ f' (x) = 12 x \end{matrix}$

Mà do f '(0) ¹ 0 nên suy ra ta chọn f (x) = 2x

Khi đó

$\int_{2}^{3} [2 f (x) + 2] \ln x d x = \int_{2}^{3} (4 x + 2) \ln x d x$

Đặt $\{\begin{matrix} u = \ln x \Rightarrow d u = \frac{1}{x} d x \\ d v = (4 x + 2) d x \Rightarrow v = 2 x^{2} + 2 x \end{matrix}$

Nên suy ra $\int_{2}^{3} (4 x + 2) \ln x d x$

$= {(2 x^{2} + 2 x) \ln x|}_{2}^{3} - \int_{2}^{3} (2 x + 2) d x$

$= {(2 x^{2} + 2 x) \ln x|}_{2}^{3} - {(x^{2} + 2 x)|}_{2}^{3}$

= 24ln 3 - 12ln 2 - 15 + 8

= -7 - 12ln 2 + 24ln 3.

Mà ta biết $\int_{2}^{3} [2 f (x) + 2] \ln x d x = a + b \ln 2 + c \ln 3$

Nên suy ra được a = -7, b = -12, c = 24

Khi đó: P = 2a + 3b + c

= 2.(-7) + 3.(-12) + 24 = -26.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x}$

A. $F (x) = - \frac{1}{x^{2}} + C;$

B. $F (x) = \frac{1}{2} \ln |x| + C;$

C. F (x) = ln |x| + C;

D. F (x) = -x² + C.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

$f (x) = \frac{1}{x} \Rightarrow F (x) = \int f (x) d x = \int \frac{1}{x} d x$

= ln |x| + C.

Câu 2

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x), y = g (x) liên tục trên [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính theo công thức

A. $S = \int_{a}^{b} |f^{2} (x) + g^{2} (x)| d x;$

B. $S = π \int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x;$

C. $S = \int_{a}^{b} |f (x) + g (x)| d x;$

D. $S = \int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x .$

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x), y = g (x) liên tục trên [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính theo công thức $S = \int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x .$

Câu 3

Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3^x là

A. $\frac{3^{x}}{x + 1} + C;$

B. 3^x.ln 3 + C;

C. $\frac{3^{x}}{\ln 3} + C;$

D. 3^x + C.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² + 2x - 4y + 6z - 2 = 0. Tọa độ tâm I của mặt cầu (S) là

A. I(1; 2; 2);

B. I(-4; 6; 2);

C. I(-1; 2; -3);

D. I(2; -4; 6).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho số phức z thỏa mãn $|z + 3 - 4 i| = \sqrt{2}$ . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (2 - i)z - 3i + 5 là một đường tròn. Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn đó.

A. Đường tròn tâm I(-1; 3), bán kính $R = 3 \sqrt{2};$

B. Đường tròn tâm I(-3; -8), bán kính $R = \sqrt{10};$

C. Đường tròn tâm I(3; 8), bán kính $R = \sqrt{10};$

D. Đường tròn tâm I(1; -3), bán kính

R = 3 \sqrt{2};

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; -1) và đường thẳng $Δ : \{\begin{matrix} x = - 3 - 3 t \\ y = 1 + t \\ z = 6 + t \end{matrix}$ . Tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng D là

A. H(3; -1; 4);

B. H(4; -2; 1);

C. H(-6; 2; 7);

D. H(6; -2; 3).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - 3 t \\ z = - 3 + 4 t \end{matrix}$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. M(3; 1; 9);

B. M(1; -4; -3);

C. Q(1; 2; -3);

D. M(3; -4; 9).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ, f (0) = 0, f '(0) ¹ 0 và thỏa mãn hệ thức f (x).f '(x) + 18x2 = (3x2 + x).f '(x) + (6x + 1).f (x), "x Î ℝ. Biết ∫232fx+2lnxdx=a+bln2+cln3 , với a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức P = 2a + 3b + c.

Tìm họ nguyên hàm của hàm số fx=1x

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x), y = g (x) liên tục trên [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính theo công thức

Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y + 6z - 2 = 0. Tọa độ tâm I của mặt cầu (S) là

Cho số phức z thỏa mãn z+3−4i=2 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (2 - i)z - 3i + 5 là một đường tròn. Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn đó.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; -1) và đường thẳng Δ:x=−3−3ty=1+t z=6+t . Tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng D là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d:x=1+2t y=2−3t z=−3+4t đi qua điểm nào dưới đây?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x}$

Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3^x là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² + 2x - 4y + 6z - 2 = 0. Tọa độ tâm I của mặt cầu (S) là

Cho số phức z thỏa mãn $|z + 3 - 4 i| = \sqrt{2}$ . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (2 - i)z - 3i + 5 là một đường tròn. Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn đó.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; -1) và đường thẳng $Δ : \{\begin{matrix} x = - 3 - 3 t \\ y = 1 + t \\ z = 6 + t \end{matrix}$ . Tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng D là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - 3 t \\ z = - 3 + 4 t \end{matrix}$ đi qua điểm nào dưới đây?