b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m. Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của m để $\left(5x_1-1\right)\left(5x_2-1\right)<0$ 

b) Phương trình (1) có $\Delta ={\left(-m\right)}^2-4\left(m-4\right)=m^2-4m+16=m^2-4m+4+12={\left(m-2\right)}^2+12$ $\Rightarrow \Delta >\mathrm{0,}\forall m$. Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1{x}_2=m-4\end{array}\right.$

Ta có: $\left(5x_1-1\right)\left(5x_2-1\right)=25x_1{x}_2-5x_1-5x_2+1$

$=25x_1{x}_2-5\left(x_1+x_2\right)+1$

$=25\left(m-4\right)-5m+1=20m-99$

Theo đề bài, ta có: $\left(5x_1-1\right)\left(5x_2-1\right)<0\iff 20m-99<0\iff m<\frac{99}{20}$

Mà m là số nguyên dương nên $m\in \left\{1;2;3;4\right\}$ 

Vậy $m\in \left\{1;2;3;4\right\}$.

Mở rộng:

* Bài toán tìm điều kiện của tham số m để $x_1<a<x_2$ thì

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1<a\\ x_2>a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1-a<0\\ x_2-a>0\end{array}\right.\iff \left(x_1-a\right)\left(x_2-a\right)<0$ 

* Bài toán tìm điều kiện của tham số m để $x_1<x_2<a$ thì

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1<a\\ x_2<a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1-a<0\\ x_2-a<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(x_1-a\right)\left(x_2-a\right)>0\\ x_1+x_2<2a\end{array}\right.$ 

* Bài toán tìm điều kiện của tham số m để $x_2>x_1>a$ thì

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1>a\\ x_2>a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1-a>0\\ x_2-a>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(x_1-a\right)\left(x_2-a\right)>0\\ x_1+x_2>2a\end{array}\right.$ 

Các bước giải tiếp theo ta áp dụng định lí Vi – ét làm tương tự Ví dụ 4.