Chủ đề 2: Phương trình bậc hai, hệ thức vi-ét và ứng dụng có đáp án

47 người thi tuần này 4.6 3.7 K lượt thi 51 câu hỏi 60 phút

Câu 1/51

Giải phương trình $x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Lời giải

Giải chi tiết

Cách 1: Ta có: $a = 1; b' = - 2; c = 4; Δ' = {(- 2)}^{2} - 4 = 0$

Vậy phương trình có nghiệm kép $x = \frac{- (- 2)}{1} = 2$

Cách 2: $x^{2} - 4 x + 4 = 0 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$

Câu 2/51

Giải phương trình $3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Lời giải

Giải chi tiết

Ta có $Δ = {(- 7)}^{2} - 4.3.2 = 25 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là $x_{1} = \frac{- (- 7) + \sqrt{25}}{2.3} = 2; x_{2} = \frac{- (- 7) - \sqrt{25}}{2.3} = \frac{1}{3}$

Câu 3/51

Giải phương trình $2 x^{2} + (2 - \sqrt{3}) x - \sqrt{3} = 0$

Lời giải

Giải chi tiết

Ta có: $a = 2; b = 2 - \sqrt{3}; c = - \sqrt{3}$

Nhận thấy $a - b + c = 2 - 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = - 1; x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 4/51

Giải phương trình $4 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x₁; x₂ phân biệt.

Lời giải

Giải chi tiết

a) Ta có: $Δ = {(- 7)}^{2} - 4.4. (- 1) = 65 > 0$

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ phân biệt

Câu 5/51

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức.

$A = x_{1} + x_{2}$ $B = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ $C = (x_{1} - 4) (x_{2} - 4)$

$D = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ $E = {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3}$

Lời giải

b) Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{7}{4} \\ x_{1} x_{2} = - \frac{1}{4} \end{cases}$

$A = x_{1} + x_{2} = \frac{7}{4}$

$B = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = ({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2 x_{1} x_{2}) - 2 x_{1} x_{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = {(\frac{7}{4})}^{2} - 2. (- \frac{1}{4}) = \frac{57}{16}$

$C = (x_{1} - 4) (x_{2} - 4) = x_{1} x_{2} - 4 x_{1} - 4 x_{2} + 16 = x_{1} x_{2} - 4 (x_{1} + x_{2}) + 16 = (- \frac{1}{4}) - 4. \frac{7}{4} + 16 = \frac{35}{4}$

$D = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{\frac{7}{4}}{- \frac{1}{4}} = - 7$

$E = {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 {x_{1}}^{2} x_{2} - 3 x_{1} {x_{2}}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = {(\frac{7}{4})}^{3} - 3. (- \frac{1}{4}) . \frac{7}{4} = \frac{427}{64}$

Câu 6/51

Cho phương trình $x^{2} - 10 x - 8 = 0$ có hai nghiệm x₁; x₂

Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức

$A = \frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}}$

$B = {(1 - x_{1})}^{2} + {(1 - x_{2})}^{2}$

$C = (x_{1} - x_{2}) ({x_{1}}^{2} - {x_{2}}^{2})$

$D = |x_{1} - x_{2}|$

$E = {x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4}$

$F = {x_{1}}^{5} + {x_{2}}^{5}$

Lời giải

Giải chi tiết

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 10 \\ x_{1} x_{2} = - 8 \end{cases}$

Ta có ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 10^{2} - 2 (- 8) = 116$

Khi đó

$A = \frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{{(x_{1} x_{2})}^{2}} = \frac{116}{{(- 8)}^{2}} = \frac{29}{16}$

$C = (x_{1} - x_{2}) ({x_{1}}^{2} - {x_{2}}^{2}) = (x_{1} - x_{2}) (x_{1} - x_{2}) (x_{1} + x_{2}) = {(x_{1} - x_{2})}^{2} (x_{1} + x_{2})$

$= ({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 2 x_{1} x_{2}) (x_{1} + x_{2}) = [116 - 2. (- 8) .10] = 1320$

$D = |x_{1} - x_{2}| \Rightarrow D^{2} = {(x_{1} - x_{2})}^{2} = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 2 x_{1} x_{2} \Rightarrow D^{2} = 132 \Rightarrow D = 2 \sqrt{33}$ (Vì $D > 0$ )

$E = {x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4}$

${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} + 2 x_{1}^{2} x_{2}^{2} - 2 x_{1}^{2} x_{2}^{2} = {({x_{1}^{2}}_{} + {x_{2}^{2}}_{})}^{2} - 2 {(x_{1} x_{2})}^{2} = 116^{2} - 2. {(- 8)}^{2} = 13328$

$F = {x_{1}}^{5} + {x_{2}}^{5} = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = {({x_{1}}^{} + {x_{2}}^{})}^{3} - 3 {x_{1}}^{} {x_{2}}^{} (x_{^{1}} + x_{^{2}}) = 10^{3} - 3.10 (- 8) = 1240$

$F = {x_{1}}^{5} + {x_{2}}^{5} = ({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}) ({x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3}) - {x_{1}}^{2} {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3} {x_{2}}^{2}$

$= ({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}) ({x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3}) - {x_{1}}^{2} {x_{2}}^{2} (x_{1} + x_{2}) = 116.1240 - {(- 8)}^{2} .10 = 143200$

Câu 7/51

Lập phương trình có hai nghiệm $2 + \sqrt{3}$ và $2 - \sqrt{3}$

Lời giải

Ta có: $S = x_{1} + x_{2} = 2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4$

$P = x_{1} x_{2} = (2 + \sqrt{3}) . (2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

Phương trình có hai nghiệm $2 + \sqrt{3}$ và $2 - \sqrt{3}$ là $x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Câu 8/51

Tìm hai số u, v trong các trường hợp sau:

a) $u + v = 5$ và $u v = 4$

Lời giải

Giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Vi-ét đảo thì u, v là nghiệm của phương trình: $x^{2} - 5 x + 4 = 0$

$Δ = {(- 5)}^{2} - 4.4 = 9 > 0$ suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{5 + 3}{2} = 4; x_{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

Vậy các cặp số $(u; v)$ thỏa mãn là $(4; 1), (1; 4)$

Câu 9/51