Chủ đề 2: Phương trình bậc hai, hệ thức vi-ét và ứng dụng có đáp án

Giải phương trình $x^2-4x+4=0$

Giải phương trình $3x^2-7x+2=0$ 

Giải phương trình $2x^2+\left(2-\sqrt{3}\right)x-\sqrt{3}=0$ 

Giải phương trình $4x^2-7x-1=0$ 

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x₁; x₂ phân biệt.

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức.

$A=x_1+x_2$                                  $B={x_1}^2+{x_2}^2$                                                          $C=\left(x_1-4\right)\left(x_2-4\right)$ 

$D=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$                              $E={x_1}^3\text{+}{x_2}^3$ 

Cho phương trình $x^2-10x-8=0$ có hai nghiệm x₁; x₂

Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức

$A=\frac{1}{{x_1}^2}+\frac{1}{{x_2}^2}$

$B={\left(1-x_1\right)}^2+{\left(1-x_2\right)}^2$

$C=\left(x_1-x_2\right)\left({x_1}^2-{x_2}^2\right)$

$D=\left|x_1-x_2\right|$

$E={x_1}^4+{x_2}^4$

$F={x_1}^5+{x_2}^5$

Lập phương trình có hai nghiệm $2+\sqrt{3}$ và $2-\sqrt{3}$

Tìm hai số u, v trong các trường hợp sau:

a) $u+v=5$ và $uv=4$

Tìm hai số u, v trong các trường hợp sau:

b) $u^2+v^2=34$ và $uv=15$

Cho phương trình $x^2-2\left(m-2\right)x-6=0$ (m là tham số) có hai nghiệm x₁, x₂. Lập phương trình có hai nghiệm $\frac{x_2}{x_1}$ và $\frac{x_1}{x_2}$.

Cho phương trình $x^2-5x+m+1=0$ (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 2.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho $\left|x_1-x_2\right|<5$ 

Cho phương trình $x^2-\left(m+2\right)x+3m-3=0$ (1) với x là ẩn, m là tham số.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho x₁, x₂ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.

Cho phương trình $x^2+2mx+m^2+m=0$ (1)

a) Giải phương trình (1) khi $m=-1$ 

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện $\left(x_1-x_2\right)\left({x_1}^2-{x_2}^2\right)=32$ 

Cho phương trình $x^2-mx+m-4=0$ (1) (x là ẩn số, m là tham số).

a) Giả phương trình khi $m=8$ 

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m. Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của m để $\left(5x_1-1\right)\left(5x_2-1\right)<0$ 

Cho phương trình $m{x}^2-2\left(m+1\right)x+m-4=0$ (1) (m là tham số).

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $4x_1+x_2=3$ 

Không giải phương trình, hãy xét dấu nghiệm của phương trình sau:

a) $\left(\sqrt{5}-1\right)x^2+2\left(4-\sqrt{5}\right)x+1=0$ 

Không giải phương trình, hãy xét dấu nghiệm của phương trình sau:

a) $\left(\sqrt{5}-1\right)x^2+2\left(4-\sqrt{5}\right)x+1=0$ 

Không giải phương trình, hãy xét dấu nghiệm của phương trình sau:

b) $x^2-2\left(m-2\right)x-6=0$ 

Cho phương trình $x^2-5x+2m-3=0$ (1) (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương.

Cho phương trình $x^2-\left(m-5\right)x-3m+6=0$ (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.

Cho phương trình $x^2-\left(2m+1\right)x+m-7=0$ (m là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂. Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂ không phụ thuộc m.

Cho phương trình $\left(m-2\right)x^2-2mx+m+1=0$ (m là tham số).

a) Tìm các giá trị của m phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào tham số m.

Giải phương trình:

Cho phương trình $3x^2-x-1=0$  có hai nghiệm x₁, x₂. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A={x_1}^2+{x_2}^2$ .

Cho phương trình $3x^2-2x-2=0$  có hai nghiệm x₁, x₂. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A=x_1+x_2,B={x_1}^2+{x_2}^2$ .

Cho phương trình $x^2-2x-5=0$  có hai nghiệm x₁, x₂. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $B={x_1}^2+{x_2}^2;C={x_1}^5+{x_2}^5$ .

Cho phương trình bậc hai với ẩn số x: $x^2-2\left(m-1\right)x+2m-3=0$(với m là tham số). Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁; x₂ của phương trình không phụ thuộc vào tham số m.

Cho phương trình $x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-m=0$  (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn $2{\left(x_1-1\right)}^2+\left(6-x_2\right)\left(x_1{x}_2+11\right)=72$ .

Cho phương trình $x^2-\left(m+1\right)x+m-2=0$  (với m là tham số).

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm các số nguyên m để phương trình có nghiệm nguyên.

Cho phương trình $x^2-2\left(m+2\right)x+m^2+3m-2=0$ (1) (m là tham số).

a) Giải phương trình (1) với m=3 .

b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho biểu thức $A=2018+3x_1{x}_2-{x_1}^2-{x_2}^2$  đạt giá trị nhỏ nhất.

Tìm giá trị của m để phương trình $2x^2-5x+2m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{5}{2}$ .

Cho phương trình bậc hai $x^2-3x+m=0$     (1) (m là tham số).

a) Tìm m để phương trình có nghiệm bằng -2. Tính nghiệm còn lại ứng với m vừa tìm được.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A={x_1}^2+{x_2}^2-3x_1{x}_2$

Cho phương trình $x^2+5x+m=0$ (*) (m là tham số)

a) Giải phương trình (*) khi m = -3.

b) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn $9x_1+2x_2=18$.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ sao cho $\left({x_1}^2-2m{x}_1+3\right)\left({x_2}^2-2m{x}_2-2\right)=50$.

Cho phương trình $m{x}^2-\left(2m+3\right)x+m+1=0$ (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂. Với điều kiện đó của m, tìm hệ thức giữa x₁, x₂ không phụ thuộc vào m.