Chủ đề 3: Các phương trình quy về bậc hai có đáp án

• Phân tích đề bài

Ta thấy tổng của các hệ số của phương trình là $1+\left(-6\right)+11+\left(-6\right)=0$ nên phương trình có một nghiệm x = 1.

Giải chi tiết

Ta có: $x^3-6x^2+11x-6=0$$\iff x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6=0$

$\iff x^2\left(x-1\right)-5x\left(x-1\right)+6\left(x-1\right)=0$

$\iff \left(x-1\right)\left(x^2-5x+6\right)=0$

$\iff \left(x-1\right)\left(x^2-3x-2x+6\right)=0$

$\iff \left(x-1\right)\left[x\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)\right]=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=2\\ x=3\end{array}\right.$

Vậy nghiệm của phương trình là $x\in \left\{1;2;3\right\}$

• Phân tích đề bài

Ta thấy tổng của các hệ số của biến x có số mũ lẻ bằng tổng của các hệ số của biến x có số mũ chẵn với hệ số tự do $1+\left(-5\right)=2+\left(-6\right)=-4$ nên phương trình có một nghiệm $x=-1$

Giải chi tiết

$x^3+2x^2-5x-6=0$$\iff x^3+x^2+x^2+x-6x-6=0$

$\iff x^2\left(x+1\right)+x\left(x+1\right)-6\left(x+1\right)=0$

$\iff \left(x+1\right)\left(x^2+x-6\right)=0$

$\iff \left(x+1\right)\left(x^2+3x-2x-6\right)=0$

$\iff \left(x+1\right)\left[x\left(x+3\right)-2\left(x+3\right)\right]=0$

$\iff \left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\\ x=-3\end{array}\right.$

Vậy nghiệm của phương trình là$x\in \left\{-3;-1;2\right\}$

Giải chi tiết

$2x^3-11x^2+17x-6=0$

$\iff 2x^3-4x^2-7x^2+14x+3x-6=0$

$\iff 2x^2\left(x-2\right)-7x\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)=0$

$\iff \left(x-2\right)\left(2x^2-7x+3\right)=0$

$\iff \left(x-2\right)\left(2x^2-6x-x+3\right)=0$

$\iff \left(x-2\right)\left|2x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)\right|=0$

$\iff \left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(2x-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=3\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ 

Vậy nghiệm của phương trình là$x\in \left\{\frac{1}{2};2;3\right\}$

• Phân tích đề bài

Sử dụng máy tính Casio tìm nghiệm phương trình bậc hai ra các số vô tỉ. Vì vậy, không nhẩm được nghiệm của phương trình.

Ta thấy: $x^3+3x^2+3x+1={\left(x+1\right)}^3$. Tách ra thành hằng đẳng thức để giải phương trình.

• Giải chi tiết

$x^3+3x^2+3x-2018=0\iff \left(x^3+3x^2+3x+1\right)-2019=0$ 

$\iff {\left(x+1\right)}^3=2019\iff x=-1+\sqrt[3]{2019}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1+\sqrt[3]{2019}$

• Giải chi tiết

Đặt $t=x^2\left(t\ge 0\right)$

Phương trình (1) trở thành $t^2+3t-4=0\iff t^2+4t-t-4=0\iff t\left(t+4\right)-\left(t+4\right)=0$ 

$\iff \left(t-1\right)\left(t+4\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-4\end{array}\right.$

Vì $t\ge 0\Rightarrow t=1\Rightarrow x^2=1\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}\right.$

Vậy nghiệm của phương trình là $x\in \left\{-1;1\right\}$

Giải chi tiết

$\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)=9\iff \left(x+1\right)\left(x+7\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)=9$ 

$\iff \left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)=9$(1)

Đặt $t=x^2+8x+7$

Phương trình (1) trở thành $t\left(t+8\right)=9\iff t^2+8t-9=0\iff t^2+9t-t-9=0$ 

$\iff \left(t-1\right)\left(t+9\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-9\end{array}\right.$

- Với $t=1\Rightarrow x^2+8x+6=0$

 Phương trình có nghiệm là $\left[\begin{array}{l}x=-4+\sqrt{10}\\ x=-4-\sqrt{10}\end{array}\right.$

- Với $t=-9\Rightarrow x^2+8x+16=0\iff {\left(x+4\right)}^2=0\iff x=-4$

Phương trình có nghiệm$x\in \left\{-4-\sqrt{10};-4;-4+\sqrt{10}\right\}$

Giải chi tiết

Đây là phương trình đối xứng

- Nếu x = 0 thì $\left(1\right)\iff 2=0$ (vô lý)

Suy ra $x\ne 0$ . Chia cả 2 vế cho $x^2$, ta được

$2x^2-5x+6-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}=0\iff 2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0$ (2)

Đặt $t=x+\frac{1}{x}\Rightarrow t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ phương trình (2) trở thành

$2\left(t^2-2\right)-5t+6=0\iff 2t^2-5t+2=0\iff \left(2t-1\right)\left(t-2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=2\\ t=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ 

+ Với $t=2\Rightarrow x+\frac{1}{x}=2\Rightarrow x^2-2x+1=0\iff {\left(x-1\right)}^2=0\iff x=1$ 

+ Với $t=\frac{1}{2}\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2x^2-x+2=0$ (vô nghiệm vì $\Delta =15<0$)

Giải chi tiết

Đặt $t=\left(x+1\right)$ 

Ta có phương trình: $t^4-2t^3-3=0$

$\begin{array}{l}\iff t^4+t^3-3t^3-3=0\iff t^3\left(t+1\right)-3\left(t^3+1\right)=0\iff t^3\left(t+1\right)-3\left(t+1\right)\left(t^2-t+1\right)=0\\ \iff \left(t+1\right)\left(t^3-3t^2+3t-3\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t^3-3t^2+3t-3=0\end{array}\right.\end{array}$ 

Trường hợp 1: t = -1 thì $x+1=-1\Rightarrow x=-2$ 

Trường hợp 2:

$t^3-3t^2+3t-3=0\iff t^3-3t^2+3t-1-2=0\iff {\left(t-1\right)}^3=2\iff t-1=\sqrt[3]{2}$

$\iff t=1+\sqrt[3]{2}\iff x+1=1+\sqrt[3]{2}\iff x=\sqrt[3]{2}$

Phương trình có nghiệm là $x=\sqrt[3]{2};x=-2$