b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $4x_1+x_2=3$ 

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \Delta \text{'}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 6m+1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m>-\frac{1}{6}\end{array}\right.$ 

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{2\left(m+1\right)}{m}\left(2\right)\\ x_1{x}_2=\frac{m-4}{m}\left(3\right)\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có: $4x_1+x_2=3\Rightarrow x_2=3-4x_1$(4)

Thay (4) vào (2) ta được:

$x_1+3-4x_1=\frac{2\left(m+1\right)}{m}\iff -3x_1=\frac{2\left(m+1\right)}{m}-3\iff x_1=\frac{m-2}{3m}$

$\Rightarrow x_2=3-\frac{4\left(m-2\right)}{3m}=\frac{5m+8}{3m}$

Thay $x_1=\frac{m-2}{3m}$; $x_2=\frac{5m+8}{3m}$vào (3) ta được

$\frac{m-2}{3m}.\frac{5m+8}{3m}=\frac{m-4}{m}$

$\Rightarrow \left(m-2\right)\left(5m+8\right)=9m\left(m-4\right)\iff 2m^2-17m+8=0\iff \left[\begin{array}{l}m=8\\ m=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện suy ra $m=8$ hoặc $m=\frac{1}{2}$.

Vậy với $m=8$ hoặc $m=\frac{1}{2}$thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $4x_1+x_2=3$ 

* Bài toán tìm m để để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn $x_1=k{x}_2$ hoặc $x_1=k{x_2}^2$,…(*) thì ta đi giải hệ

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\mathrm{...}\\ x_1{x}_2=\mathrm{...}\\ \mathrm{...}=(*)\end{array}\right.$ 

Giải 2 trong 3 phương trình trong hệ trên tìm x₁, x₂ theo m rồi thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình chỉ còn tham số m. Giải tìm được m.