Cho tam giác ABC, AD là tia phân giác của góc A; \[AB < AC\]. Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho \[\widehat {ACI} = \widehat {BDA}\]. Chứng minh rằng

\[A{D^2} = AB.AC - BD.CD\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 1: Tam giác đồng dạng, Định lí Talet có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC, AD là tia phân giác của góc A. Chứng minh AD^2 = AB.AC - BD.CD (ảnh 1)

Do \[\Delta ADB\~\Delta ACI\] nên \[\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AI}} \Rightarrow AB.AC = AD.AI\]

Do \[\Delta ADB\~\Delta CDI\] nên \[\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{DB}}{{DI}} \Rightarrow BD.CD = AD.DI\]

Do đó \[AB.AC - BD.CD = AD.AI - AD.DI = A{D^2}\] (đpcm)

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH của tam giác.

Kẻ \(HM \bot AB\) và \(HN \bot AC\). Chứng minh \(AM.AB = AN.AC\)

Xem đáp án

Lời giải

Kẻ HM vuông góc AB và HN vuông góc AC. Chứng minh AM.AB = AN.AC (ảnh 1)

Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta ABH\) có: \(\widehat {MAH}\) chung; \(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta AHM\~\Delta AHB\) (g.g) \( \Rightarrow \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AH}} \Rightarrow A{H^2} = AM.AB\) (1)

Xét \(\Delta AHN\) và \(\Delta ABH\) có: \(\widehat {NAH}\) chung; \(\widehat {ANH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta AHN\~\Delta ACH\)\[ \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AH}} \Rightarrow A{H^2} = AN.AC\] (2)

Từ (1), (2) suy ra: \[AM.AB = AN.AC\]

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại B. Đường phân giác AD. Biết \[AB = 6cm,\,\,AC = 10cm\].

Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại K. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt AD, AB, BC lần lượt tại E, F, H. Chứng minh \[\Delta ABC\sim\Delta HDK\]

Xem đáp án

Lời giải

Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại K. Qua K kẻ đường thẳng (ảnh 1)

Do AB, DK cùng vuông góc với BC nên \[AB\parallel DK\]. Suy ra \[\widehat {BAD} = \widehat {ADK}\]

Mặt khác, \[\widehat {ADK} = \widehat {KHD}\] (cùng phụ với \[\widehat {HKD}\]). Do đó \[\widehat {BAD} = \widehat {KHD}\]

Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta HDK\] có: \[\widehat {BAD} = \widehat {KHD};\,\,\widehat {ABD} = \widehat {HDK} = 90^\circ \] nên \[\Delta ABD\sim\Delta HDK\] (g.g)

Câu 3