Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao BD và $CE$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H , cùng nằm trên một đường tròn (gọi tâm của nó là O ).

b) Gọi M là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) $\Delta AEH$ cân tại A vì có AM vừa là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến.

$\Rightarrow AE=AH$.

Xét $\Delta OEA$ và $\Delta OHA$ có: OE = OH (bán kính đường tròn (O));

                                            AE = AH (chứng minh trên);

                                            OA chung.

$\Rightarrow \Delta OEA=\Delta OHA\left(\text{c.c.c}\right)\Rightarrow \widehat{OHA}=\widehat{OEA}=90°$ (hai góc tương ứng).

Hay $AH\perp OH$. Vậy AH là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Ta thấy B là giao của hai tiếp tuyến BH và BF nên $\widehat{BOF}=\widehat{BOH}$.

Lại có $\widehat{EOA}=\widehat{HOA}$ nên $\widehat{EOA}+\widehat{AOB}+\widehat{BOF}=2\left(\widehat{AOH}+\widehat{BOH}\right)=180°$.

Tức là ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: FB = BH, EA =HA.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB ta có: $BH.HA=O{H}^2$.

Vậy $BF.AE=R^2$.                                      (1)

Giải chi tiết

Gọi $H=OM\cap AB$. Xét $\Delta OAH$ và $\Delta OBH$ có: OA =  (bán kính đường tròn (O));

                                                                              $\widehat{OHA}=\widehat{OHB}=90°$ (giả thiết);

                                                                              OH chung.