Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường tròn (O') tại D. Vẽ đường tròn (I) qua ba điểm A,C,D cắt đường thẳng AB tại một điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng:

a)  $\widehat{CAD}+\widehat{CBD}=180°$.

Do MB song song với AC nên  $\widehat{BMC}=\widehat{ACM}$ (hai góc so le trong).

Ta lại có  $\widehat{ACM}=\widehat{ACE}=\widehat{MAE}$ (cùng chắn  $\stackrel{⏜}{AE}$).

Do đó  $\widehat{BMC}=\widehat{MAE}$.

Xét  $\Delta KME$  và  $\Delta KAM$ có:  $\widehat{BMC}=\widehat{MAE}$ (chứng minh trên).

                               $\widehat{MKE}$ chung.

Suy ra   $\Delta KME~\Delta KAM\left(\text{g.g}\right)\Rightarrow \frac{MK}{AK}=\frac{EK}{MK}\text{ hay }M{K}^2=AK.EK$ (đpcm). (1)

Ta thấy  $\widehat{EAB}=\widehat{EBK}$ (cùng chắn  $\stackrel{⏜}{BE}$).

Từ đó  $\Delta EBK~\Delta BAK\left(\text{g.g}\right)\Rightarrow \frac{BK}{AK}=\frac{EK}{BK}\text{ hay }B{K}^2=AK.EK$.            (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $M{K}^2=K{B}^2$ nghĩa là  $MK=KB$ (đpcm).

a) Ta có  $\widehat{MCA}=\widehat{ABC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung AC).

Lại có  $\widehat{ACH}=\widehat{ABC}$  (cùng phụ với góc  $\widehat{CAH}$).

Do đó  $\widehat{MCA}=\widehat{ACH}$, suy ra CA là tia phân giác của góc  $\widehat{MCH}$.