Giả sử A và B là hai điểm phân biệt trên đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại điểm M. Từ A kẻ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn (O) tại C. MC cắt đường tròn (O) tại E. Các tia AE và MB cắt nhau tại K.

Chứng minh rằng  $M{K}^2=AK.EK$ và  $MK=KB$.

b) Gọi R là bán kính của đường tròn (O). Khi đó  $OC=OA=R$ và  $OM=OA+AM=R+a$.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông COM ta được:

         $O{M}^2=O{C}^2+C{M}^2\iff {\left(R+a\right)}^2=R^2+{\left(2a\right)}^2$$\iff R^2+2aR+a^2=R^2+4a^2$

                               $\iff 2aR-3a^2=0\iff a\left(2R-3a\right)=0$

                               $\iff 2R-3a=0\iff R=\frac{3a}{2}\left(\text{do }a\ne 0\right)$.

Suy ra  $AB=2R=3a;OM=a+\frac{3a}{2}=\frac{5a}{2}$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COM ta có:

         $CH.OM=CM.CO\Rightarrow CH=\frac{CM.CO}{OM}=\frac{2a.\frac{3a}{2}}{\frac{5a}{2}}=\frac{6a}{5}$.

Vậy  $AB=3a;CH=\frac{6a}{5}$.

a) Ta có  $\widehat{MCA}=\widehat{ABC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung AC).

Lại có  $\widehat{ACH}=\widehat{ABC}$  (cùng phụ với góc  $\widehat{CAH}$).

Do đó  $\widehat{MCA}=\widehat{ACH}$, suy ra CA là tia phân giác của góc  $\widehat{MCH}$.