Điều kiện của x để biểu thức $\sqrt{2x-4}$có nghĩa là

tứ giác BCDE có $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}={90}^0\left(gt\right)\Rightarrow$Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)

Ta có: M là trung điểm AB (gt) $\Rightarrow OM\perp AB\Rightarrow \widehat{OAM}={90}^0$(tính chất đường kính dây cung).

Tương tự N là trung điểm của $AC\left(gt\right)\Rightarrow ON\perp AC\Rightarrow \widehat{ONA}={90}^0$(tính chất đường kính dây cung)

Xét tứ giác AMON có $\widehat{OMA}+\widehat{ONA}={90}^0+{90}^0={180}^0\Rightarrow$Tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ${180}^0)$

a)    Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

$x^2-2x-4m^2+8m-3=0 \left(1\right)$

Số giao điểm của (d) và (P) cũng chính là số nghiệm của phương trình (1)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$ khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$

Ta có: $\Delta \text{'}={\left(-1\right)}^2+4m^2-8m+3=4m^2-8m+4=4{\left(m-1\right)}^2$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$khi và chỉ khi $\Delta \text{'}>0\iff 4{\left(m-1\right)}^2>0\iff m\ne 1$

Áp dụng hệ thức Vi et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1{x}_2=-4m^2+8m-3\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}{y}_1+y_2=10\iff x_1^2+x_2^2=10\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=10\\ \iff 2^2-2.\left(-4m^2+8m-3\right)=10\iff 4+8m^2-16m+6=10\\ \iff 8m^2-16m=0\iff 8m\left(m-2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\left(tm\right)\\ m=2\left(tm\right)\end{array}\right.\end{array}$

Vậy với $m=\mathrm{0,}m=2$thỏa mãn yêu cầu bài toán