Tìm giá trị âm của m để góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \[{d_1}\]: 7x – 3y + 2 = 0 và \[{d_2}\]: 2x + 5my +1 = 0 bằng 45°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:7x - 3y + 2 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {7; - 3} \right)\\{d_2}:2x + 5my + 1 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {2;5m} \right)\end{array} \right.\] với \({\vec n_1}\); \({\vec n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\); \({d_2}\).

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

\(\cos 45^\circ = \frac{{\left| {7.2 + \left( { - 3} \right).5m} \right|}}{{\sqrt {49 + 9} .\sqrt {4 + 25{m^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {14 - 15m} \right|}}{{\sqrt {58} .\sqrt {4 + 25{m^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {14 - 15m} \right| = \sqrt {58} .\sqrt {4 + 25{m^2}} \)

⇔ 2(196 – 420m + 225m²) = 58(4 + 25m²)

⇔ 392 – 840m + 450m² = 232 + 1450m²

⇔ 1000m² + 840m – 160 = 0

⇔ m = \(\frac{4}{{25}}\) hoặc m = – 1

Vậy giá trị âm của m thỏa mãn điều kiện bài toán là m = – 1.