c) Vẽ CH vuông góc với AB( H$\in$AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH

a) Ta có $OA=OC\Rightarrow O$ thuộc trung trực của AC

MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)$\Rightarrow M$ thuộc trung trực của AC

$\Rightarrow OM$ là trung trực của $AC\Rightarrow OM\perp AC$ tại E$\Rightarrow \angle ADM=90°$

Ta có : $\angle ADB=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)$\Rightarrow \angle ADM=90°$

Xét tứ giác AMDE có $\angle AEM=\angle ADM=90°\left(cmt\right)\Rightarrow AMDE$là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn AM dưới một góc $90°$

b) Phương trình (1) có $\Delta \text{'}=m^2+1>0$ (với mọi m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$. Khi đó áp dụng định lý Vi-et ta có :

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=-1\end{array}\right.$. Theo bài ra ta có :

$\begin{array}{l}{x}_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=7\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2=7\\ \iff 4m^2+3=7\iff 4m^2=4\iff m^2=1\iff m=\pm 1\end{array}$

Vậy $m=\pm 1$thỏa mãn yêu cầu bài toán