Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A=a2b+c+b2c+a+c2a+b với a,b,c>0a+b+c=3

Áp dụng BĐT phụ : x2a+y2b+z2c≥x+y+z2a+b+c . Dấu "="xảy ra khi xa=yb=zc,a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức phụ: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số xa;yb;zc và a,b,c ta có : x2a+y2b+z2ca+b+c≥x+y+z2⇔x2a+y2b+z2c≥x+y+z2a+b+c Khi đó ta có : A=a2b+c+b2c+a+c2a+b≥a+b+c2b+c+c+a+a+b=a+b+c22a+b+c=a+b+c2=32 Vậy Amin=32.Dấu "="xảy ra ⇔a=b=c=1

Câu hỏi:

06/09/2022 400

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$A = \frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{c + a} + \frac{c^{2}}{a + b}$ với $\{\begin{cases} a, b, c > 0 \\ a + b + c = 3 \end{cases}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng BĐT phụ : $\frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{b} + \frac{z^{2}}{c} \geq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{a + b + c}$ . Dấu $" = "$ xảy ra khi $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}, a, b, c > 0$

Chứng minh bất đẳng thức phụ:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số $(\frac{x}{\sqrt{a}}; \frac{y}{\sqrt{b}}; \frac{z}{\sqrt{c}})$ và $(\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})$ ta có :

$(\frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{b} + \frac{z^{2}}{c}) (a + b + c) \geq {(x + y + z)}^{2} \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{b} + \frac{z^{2}}{c} \geq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{a + b + c}$

Khi đó ta có :

$A = \frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{c + a} + \frac{c^{2}}{a + b} \geq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{b + c + c + a + a + b} = \frac{{(a + b + c)}^{2}}{2 (a + b + c)} = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3}{2}$

Vậy $A_{\min} = \frac{3}{2} .$ Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đường kính AB. Lấy một điểm M trên tia Ax $(M \neq A) .$ Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn (O) tại D $(D \neq B)$

a) Chứng minh :Tứ giác ADME nội tiếp trong một đường tròn

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có $O A = O C \Rightarrow O$ thuộc trung trực của AC

MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) $\Rightarrow M$ thuộc trung trực của AC

$\Rightarrow O M$ là trung trực của $A C \Rightarrow O M ⊥ A C$ tại E $\Rightarrow ∠ A D M = 90 °$

Ta có : $∠ A D B = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow ∠ A D M = 90 °$

Xét tứ giác AMDE có $∠ A E M = ∠ A D M = 90 ° (c m t) \Rightarrow A M D E$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn AM dưới một góc $90 °$

Câu 2

b) Cho phương trình $: x^{2} - 2 m x - 1 = 0 (1)$ với m là tham số

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 7$

Xem đáp án

Lời giải

b) Phương trình (1) có $Δ' = m^{2} + 1 > 0$ (với mọi m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ . Khi đó áp dụng định lý Vi-et ta có :

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m \\ x_{1} x_{2} = - 1 \end{cases}$ . Theo bài ra ta có :

$\begin{array}{l} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 7 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 7 \\ \Leftrightarrow 4 m^{2} + 3 = 7 \Leftrightarrow 4 m^{2} = 4 \Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1 \end{array}$

Vậy $m = \pm 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 3