Hai điểm dân cư cách nhau ba con sông có lòng sông rộng khác nhau. Hãy bắc các cây cầu và làm đường nối hai điểm dân cư với con đường ngắn nhất (hình vẽ).

Giả sử nếu con sông rất đẹp, hẹp đến mức hai bờ sông a và b trùng nhau. Di chuyển điểm M, ta tìm được vị trí của M là giao điểm của bờ sông a và đoạn AB (Ta đã biết đây là bài toán quen thuộc: $MA+MB\ge AB\Rightarrow MA+MB$ ngắn nhất khi M là giao điểm của a và đoạn thẳng AB).

Từ đó ta cần tìm cách đưa ví dụ 1 về bài toán này. Ta làm như sau:

Dựng hình bình hành $AMN{A}^{\text{'}}$: Ta có $AM=A^{\text{'}}N$.

Vậy $AM+MN+NB=A{A}^{\text{'}}+A^{\text{'}}N+NB$. Do AA' không đổi, nên $A^{\text{'}}N+NB$ nhỏ nhất khi N là giao điểm của A'B và bờ sông.

Cách dựng M, N:

- Dựng A' sao cho AMNA' là hình bình hành

- Dựng M sao cho NM vuông góc với bờ sông a $(M\in a)$.

- M, N là các vị trí cần tìm.

Dựng hình bình hành $BCD{B}^{\text{'}}$.

Chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất khi BC+AD nhỏ nhất.

Hay $B^{\text{'}}D+AD$ nhỏ nhất.

Theo ví dụ 1, §, hệ thức này nhỏ nhất khi điểm D trùng với D' là giao của EA với d (E là điểm đối xứng của B' qua d).

Dựng hình bình hành $B{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$.

Ta có $BC+AD=B^{\text{'}}D+AD=DE+AD$

         $\ge AE\iff BC+AD$

         $\ge B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}+A{D}^{\text{'}}=B{C}^{\text{'}}+A{D}^{\text{'}}$.

Dấu “=” xảy ra khi CD trùng với C'D'.