Cho điểm A₁ cố định, đoạn C₁D₁ thuộc đường thẳng d có độ dài không đổi chuyển động trên đường thẳng này. Tìm vị trí của $C_1{D}_1$ để chu vi tam giác $A_1{C}_1{D}_1$ bé nhất.

Giả sử nếu con sông rất đẹp, hẹp đến mức hai bờ sông a và b trùng nhau. Di chuyển điểm M, ta tìm được vị trí của M là giao điểm của bờ sông a và đoạn AB (Ta đã biết đây là bài toán quen thuộc: $MA+MB\ge AB\Rightarrow MA+MB$ ngắn nhất khi M là giao điểm của a và đoạn thẳng AB).

Từ đó ta cần tìm cách đưa ví dụ 1 về bài toán này. Ta làm như sau:

Dựng hình bình hành $AMN{A}^{\text{'}}$: Ta có $AM=A^{\text{'}}N$.

Vậy $AM+MN+NB=A{A}^{\text{'}}+A^{\text{'}}N+NB$. Do AA' không đổi, nên $A^{\text{'}}N+NB$ nhỏ nhất khi N là giao điểm của A'B và bờ sông.

Cách dựng M, N:

- Dựng A' sao cho AMNA' là hình bình hành

- Dựng M sao cho NM vuông góc với bờ sông a $(M\in a)$.

- M, N là các vị trí cần tìm.

Dựng hình bình hành $BCD{B}^{\text{'}}$.

Chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất khi BC+AD nhỏ nhất.

Hay $B^{\text{'}}D+AD$ nhỏ nhất.

Theo ví dụ 1, §, hệ thức này nhỏ nhất khi điểm D trùng với D' là giao của EA với d (E là điểm đối xứng của B' qua d).

Dựng hình bình hành $B{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$.

Ta có $BC+AD=B^{\text{'}}D+AD=DE+AD$

         $\ge AE\iff BC+AD$

         $\ge B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}+A{D}^{\text{'}}=B{C}^{\text{'}}+A{D}^{\text{'}}$.

Dấu “=” xảy ra khi CD trùng với C'D'.