Trước hết ta chứng minh một bài toán phụ:

Cho $Δ A B C, \hat{A} \geq 90 °$ . Chứng minh rằng $B C^{2} \geq A B^{2} + A C^{2}$ .

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. (ảnh 1)

Vẽ $B H ⊥ A C$ . Vì $\hat{A} \geq 90 °$ nên H nằm trên tia đối của tia AC.

Xét $Δ H B C$ và $Δ H B A$ vuông tại H, ta có:

$B C^{2} = H B^{2} + H C^{2} = (A B^{2} - H A^{2}) + {(H A + A C)}^{2} = A B^{2} - H A^{2} + H A^{2} + A C^{2} + 2 H A . A C = A B^{2} + A C^{2} + 2 H A . A C$

Vì $H A . A C \geq 0$ nên $B C^{2} \geq A B^{2} + A C^{2}$ ( dấu “=” xảy ra khi $H \equiv A$ tức là khi $Δ A B C$ vuông ).

Vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lồi (h.1.14)

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. (ảnh 2)

Ta có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360 °$

Suy ra trong bốn góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng $90 °$ , giả sử $\hat{A} \geq 90 °$

Xét $Δ A B D$ ta có $B D^{2} \geq A B^{2} + A D^{2} > 10^{2} + 10^{2} = 200$ suy ra $B D > \sqrt{200}$ , do đó BD > 14

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lõm (h.1.15)

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. (ảnh 3)

Nối CA, Ta có: $\hat{A C D} + \hat{A C B} + \hat{B C D} = 360 °$ .

Suy ra trong ba góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng $120 °$ .

Giả sử $\hat{A C B} \geq 120 °$ , do đó $\hat{A C B}$ là góc tù

Xét $Δ A C B$ có $A B^{2} \geq A C^{2} + B C^{2} > 10^{2} + 10^{2} = 200$

Suy ra $A B > \sqrt{200} \Rightarrow A C > 14$

Vậy luôn tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh:

a) MA + MB + MC + MD ≥ AB + CD;

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:

a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;