Câu hỏi:

12/07/2024 1,678

Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a , b , c , d đều là các số tự nhiên. Biết tổng S = a + b + c + d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d . Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 1: Tứ giác có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a , b , c , d đều là các số tự nhiên. Biết tổng S = a + b + c + d chia hết cho (ảnh 1)

Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử không có hai cạnh nào của tứ giác bằng nhau.

Ta có thể giả sử $a < b < c < d$ .

Ta có: $a + b + c > B D + c > d$

Do đó a + b + c + d > 2d . Ta đặt a + b + c + d = S thì S > 2d. (*)

Ta có:

$S ⋮ a \Rightarrow S = m a (m \in N)$ (1)

$S ⋮ b \Rightarrow S = n b (n \in N)$ (2)

$S ⋮ c \Rightarrow S = p c (p \in N)$ (3)

$S ⋮ d \Rightarrow S = q d (q \in N)$ (4)

Từ (4) và (*) => qd > 2d do đó q > 2

Vì a < b < c < d nên từ (1), (2), (3), (4) suy ra $m > n > p > q > 2$

Do đó $q \geq 3; p \geq 4; n \geq 5; m \geq 6$

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra $\frac{1}{m} = \frac{a}{S}; \frac{1}{n} = \frac{b}{S}; \frac{1}{p} = \frac{c}{S}; \frac{1}{q} = \frac{d}{S}$

Ta có: $\frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \geq \frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{a + b + c + d}{S} = 1$

Từ đó: $\frac{19}{20} \geq 1$ ; vô lí.

Vậy điều giả sử là sai, suy ra tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn

Xem thêm »

Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác.

Xem đáp án » 12/07/2024 8,064

Câu 2:

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,364

Câu 3:

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = 6. Tính độ dài AD.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,037

Câu 4:

Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ?

Xem đáp án » 12/07/2024 1,723

Câu 5:

Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh:

a) MA + MB + MC + MD ≥ AB + CD;

Xem đáp án » 12/07/2024 800

Câu 6:

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:

a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;

Xem đáp án » 12/07/2024 680

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a , b , c , d đều là các số tự nhiên. Biết tổng S = a + b + c + d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d . Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.

Bình luận

Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác.

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = 6. Tính độ dài AD.

Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ?

Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh: a) MA + MB + MC + MD ≥ AB + CD;

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh: a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh:

a) MA + MB + MC + MD ≥ AB + CD;

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:

a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;