Câu hỏi:

12/07/2024 1,558

Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a , b , c , d đều là các số tự nhiên. Biết tổng S = a + b + c + d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d . Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 1: Tứ giác có đáp án !!

Sách mới 2k7: Sổ tay Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 30k).

Sổ tay Toán-lý-hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a , b , c , d đều là các số tự nhiên. Biết tổng S = a + b + c + d chia hết cho (ảnh 1)

Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử không có hai cạnh nào của tứ giác bằng nhau.

Ta có thể giả sử $a < b < c < d$ .

Ta có: $a + b + c > B D + c > d$

Do đó a + b + c + d > 2d . Ta đặt a + b + c + d = S thì S > 2d. (*)

Ta có:

$S ⋮ a \Rightarrow S = m a (m \in N)$ (1)

$S ⋮ b \Rightarrow S = n b (n \in N)$ (2)

$S ⋮ c \Rightarrow S = p c (p \in N)$ (3)

$S ⋮ d \Rightarrow S = q d (q \in N)$ (4)

Từ (4) và (*) => qd > 2d do đó q > 2

Vì a < b < c < d nên từ (1), (2), (3), (4) suy ra $m > n > p > q > 2$

Do đó $q \geq 3; p \geq 4; n \geq 5; m \geq 6$

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra $\frac{1}{m} = \frac{a}{S}; \frac{1}{n} = \frac{b}{S}; \frac{1}{p} = \frac{c}{S}; \frac{1}{q} = \frac{d}{S}$

Ta có: $\frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \geq \frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{a + b + c + d}{S} = 1$

Từ đó: $\frac{19}{20} \geq 1$ ; vô lí.

Vậy điều giả sử là sai, suy ra tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác.

Xem đáp án » 12/07/2024 7,701

Câu 2:

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,166

Câu 3:

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = 6. Tính độ dài AD.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,955

Câu 4:

Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ?

Xem đáp án » 12/07/2024 1,645

Câu 5:

Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh:

a) MA + MB + MC + MD ≥ AB + CD;

Xem đáp án » 12/07/2024 763

Câu 6:

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:

a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;

Xem đáp án » 12/07/2024 651

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP