Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ?

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.

Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d.

Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được: $OA+OB>a;OC+OD>c$

Do đó $\left(OA+OC\right)+\left(OB+OD\right)>a+c$ hay $AC+BD>a+c$(1)

Chứng minh tương tự, ta được: $AC+BD>d+b$(2)

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:

$2\left(AC+BD\right)>a+b+c+d\Rightarrow AC+BD>\frac{a+b+c+d}{2}$

Xét các $\Delta ABC$ và $\Delta ADC$ ta có: $AC<a+b;AC<c+d$

$\Rightarrow 2AC<a+b+c+d$ (3)

Tương tự có: $2BD<a+b+c+d$(4)

Cộng từng vế của (3) và (4) được: $2\left(AC+BD\right)<2\left(a+b+c+d\right)$

$\Rightarrow AC+BD<a+b+c+d$

Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh.