Câu hỏi:

19/08/2025 3,979

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 1: Tứ giác có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trước hết ta chứng minh một bài toán phụ:

Cho $Δ A B C, \hat{A} \geq 90 °$ . Chứng minh rằng $B C^{2} \geq A B^{2} + A C^{2}$ .

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. (ảnh 1)

Vẽ $B H ⊥ A C$ . Vì $\hat{A} \geq 90 °$ nên H nằm trên tia đối của tia AC.

Xét $Δ H B C$ và $Δ H B A$ vuông tại H, ta có:

$B C^{2} = H B^{2} + H C^{2} = (A B^{2} - H A^{2}) + {(H A + A C)}^{2} = A B^{2} - H A^{2} + H A^{2} + A C^{2} + 2 H A . A C = A B^{2} + A C^{2} + 2 H A . A C$

Vì $H A . A C \geq 0$ nên $B C^{2} \geq A B^{2} + A C^{2}$ ( dấu “=” xảy ra khi $H \equiv A$ tức là khi $Δ A B C$ vuông ).

Vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lồi (h.1.14)

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. (ảnh 2)

Ta có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360 °$

Suy ra trong bốn góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng $90 °$ , giả sử $\hat{A} \geq 90 °$

Xét $Δ A B D$ ta có $B D^{2} \geq A B^{2} + A D^{2} > 10^{2} + 10^{2} = 200$ suy ra $B D > \sqrt{200}$ , do đó BD > 14

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lõm (h.1.15)

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. (ảnh 3)

Nối CA, Ta có: $\hat{A C D} + \hat{A C B} + \hat{B C D} = 360 °$ .

Suy ra trong ba góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng $120 °$ .

Giả sử $\hat{A C B} \geq 120 °$ , do đó $\hat{A C B}$ là góc tù

Xét $Δ A C B$ có $A B^{2} \geq A C^{2} + B C^{2} > 10^{2} + 10^{2} = 200$

Suy ra $A B > \sqrt{200} \Rightarrow A C > 14$

Vậy luôn tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác.

Xem đáp án

Lời giải

Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác. (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.

Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d.

Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được: $O A + O B > a; O C + O D > c$

Do đó $(O A + O C) + (O B + O D) > a + c$ hay $A C + B D > a + c$ (1)

Chứng minh tương tự, ta được: $A C + B D > d + b$ (2)

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:

$2 (A C + B D) > a + b + c + d \Rightarrow A C + B D > \frac{a + b + c + d}{2}$

Xét các $Δ A B C$ và $Δ A D C$ ta có: $A C < a + b; A C < c + d$

$\Rightarrow 2 A C < a + b + c + d$ (3)

Tương tự có: $2 B D < a + b + c + d$ (4)

Cộng từng vế của (3) và (4) được: $2 (A C + B D) < 2 (a + b + c + d)$

$\Rightarrow A C + B D < a + b + c + d$

Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh.

Câu 2

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = 6. Tính độ dài AD.

Xem đáp án

Lời giải

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = 6. Tính độ dài AD. (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Xét $Δ A O B; Δ C O D$ vuông tại O, ta có: $A B^{2} + C D^{2} = O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} + O D^{2}$

Chứng minh tương tự, ta được: $B C^{2} + A D^{2} = O B^{2} + O C^{2} + O D^{2} + O A^{2}$

Do đó: $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$

Suy ra: $3^{2} + 6^{2} = 6, 6^{2} + A D^{2} \Rightarrow A D^{2} = 9 + 36 - 43, 56 = 1, 44 \Rightarrow A D = 1, 2$

Câu 3

Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a , b , c , d đều là các số tự nhiên. Biết tổng S = a + b + c + d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d . Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh:

a) MA + MB + MC + MD ≥ AB + CD;

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:

a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh:

a) MA + MB + MC + MD ≥ AB + CD;

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:

a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;