Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.

Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d.

Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được: $OA+OB>a;OC+OD>c$

Do đó $\left(OA+OC\right)+\left(OB+OD\right)>a+c$ hay $AC+BD>a+c$(1)

Chứng minh tương tự, ta được: $AC+BD>d+b$(2)

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:

$2\left(AC+BD\right)>a+b+c+d\Rightarrow AC+BD>\frac{a+b+c+d}{2}$

Xét các $\Delta ABC$ và $\Delta ADC$ ta có: $AC<a+b;AC<c+d$

$\Rightarrow 2AC<a+b+c+d$ (3)

Tương tự có: $2BD<a+b+c+d$(4)

Cộng từng vế của (3) và (4) được: $2\left(AC+BD\right)<2\left(a+b+c+d\right)$

$\Rightarrow AC+BD<a+b+c+d$

Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Xét $\Delta AOB; \Delta COD$ vuông tại O, ta có: $A{B}^2+C{D}^2=O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2+O{D}^2$

Chứng minh tương tự, ta được: $B{C}^2+A{D}^2=O{B}^2+O{C}^2+O{D}^2+O{A}^2$

Do đó: $A{B}^2+C{D}^2=B{C}^2+A{D}^2$

Suy ra: $3^2+6^2=6,6^2+A{D}^2\Rightarrow A{D}^2=9+36-43,56=1,44\Rightarrow AD=1,2$