Câu hỏi:

12/07/2024 9,342

Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác. (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.

Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d.

Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được: OA+OB>a;  OC+OD>c

Do đó OA+OC+OB+OD>a+c hay AC+BD>a+c(1)

Chứng minh tương tự, ta được: AC+BD>d+b(2)

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:

2AC+BD>a+b+c+dAC+BD>a+b+c+d2

Xét các ΔABCΔADC ta có: AC<a+b;  AC<c+d

2AC<a+b+c+d (3)

Tương tự có: 2BD<a+b+c+d(4)

Cộng từng vế của (3) và (4) được: 2AC+BD<2a+b+c+d

AC+BD<a+b+c+d

Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Trước hết ta chứng minh một bài toán phụ:

Cho ΔABC, A^90°. Chứng minh rằng BC2AB2+AC2.

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10.  (ảnh 1)

Vẽ BHAC. Vì A^90° nên H nằm trên tia đối của tia AC.

Xét ΔHBC và ΔHBA vuông tại H, ta có:

BC2=HB2+HC2=AB2HA2+HA+AC2=AB2HA2+HA2+AC2+2HA.AC=AB2+AC2+2HA.AC

HA.AC0 nên BC2AB2+AC2 ( dấu “=” xảy ra khi HA tức là khi  ΔABCvuông ).

Vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lồi (h.1.14)

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10.  (ảnh 2)

Ta có: A^+B^+C^+D^=360°

Suy ra trong bốn góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng 90°, giả sử A^90°

Xét ΔABD ta có BD2AB2+AD2>102+102=200 suy ra BD>200, do đó BD > 14

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lõm (h.1.15)

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10.  (ảnh 3)

Nối CA, Ta có: ACD^+ACB^+BCD^=360°.

Suy ra trong ba góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng 120°.

Giả sử ACB^120°, do đó ACB^ là góc tù

Xét ΔACB có AB2AC2+BC2>102+102=200

Suy ra AB>200AC>14

Vậy luôn tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.

Lời giải

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = 6. Tính độ dài AD. (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Xét ΔAOB; ΔCOD vuông tại O, ta có: AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2

Chứng minh tương tự, ta được: BC2+AD2=OB2+OC2+OD2+OA2

Do đó: AB2+CD2=BC2+AD2

Suy ra: 32+62=6,62+AD2AD2=9+3643,56=1,44AD=1,2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP