Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Tia BI cắt AC ở D. Qua M kẻ đường thẳng song song với  BD cắt AC ở E. Chứng minh:

a. AD = DE = EC.

a) Xét tam giác $\Delta ABC$ cân tại A có AM là đường cao.

Suy ra AM cũng là đường trung tuyến.

Ta có: $\Delta ABC$ có M, N lần lượt là trung điểm cạnh BC và AC.

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC.

=> MN // AB

Mà M, N, E thẳng hàng nên => ME // AB.

Xét tam giác $\Delta ADC$ và $\Delta DBC$ có  DC chung, $\widehat{D}=\widehat{C}$(gt), AD = BC (gt).

Suy ra: $\Delta ADC=\Delta DBC\left(c.g.c\right)$ nên $\widehat{BCD}=\widehat{ADC}$( Cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \widehat{ODC}=\widehat{OCD}\Rightarrow \Delta OCD$ là tam giác cân, mà góc $\widehat{DOC}=60°$.

=> $\Rightarrow \Delta OCD$ là tam giác đều.

Tương tự tam giác OAB là tam giác đều.

Ta có $\Delta OCD, \Delta OAB$ là các tam giác đều, BM, CN là các đường cao nên là trung tuyến.

Suy ra M là trung điểm OA, N là trung điểm OD. Do đó MN là đường trung bình của tam giác OAD $\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AD$    (1)

Mặt khác PM, PN là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông $△$MBC và $△$NBC nên  $PM=PN=\frac{1}{2}BC$  (2)

Mà AD = BC   (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra: PM = PN = MN. Vậy tam giác MNP là tam giác đều.