Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao. N là trung điểm của AC. Kẻ Ax // BC cắt MN tại E. Chứng minh rằng:

a. ME // AB.

a. Tam giác AEM có I là trung điểm của AM, ID // ME nên AD = DE.  (1)

Tam giác BCD có M là trung điểm của BC, ME // BD nên DE = EC.   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD = DE = EC.

Xét tam giác $\Delta ADC$ và $\Delta DBC$ có  DC chung, $\widehat{D}=\widehat{C}$(gt), AD = BC (gt).

Suy ra: $\Delta ADC=\Delta DBC\left(c.g.c\right)$ nên $\widehat{BCD}=\widehat{ADC}$( Cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \widehat{ODC}=\widehat{OCD}\Rightarrow \Delta OCD$ là tam giác cân, mà góc $\widehat{DOC}=60°$.

=> $\Rightarrow \Delta OCD$ là tam giác đều.

Tương tự tam giác OAB là tam giác đều.

Ta có $\Delta OCD, \Delta OAB$ là các tam giác đều, BM, CN là các đường cao nên là trung tuyến.

Suy ra M là trung điểm OA, N là trung điểm OD. Do đó MN là đường trung bình của tam giác OAD $\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AD$    (1)

Mặt khác PM, PN là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông $△$MBC và $△$NBC nên  $PM=PN=\frac{1}{2}BC$  (2)

Mà AD = BC   (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra: PM = PN = MN. Vậy tam giác MNP là tam giác đều.