Cho hình thang ABCD cân, đáy nhỏ AB và đáy lớn CD. Góc nhọn hợp bởi hai đường chéo AC, BD bằng $60°$. Gọi  M và N là hình chiếu của B và C lên AC và BD, P là trung điểm cạnh BC. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.

Xét tam giác $\Delta ADC$ và $\Delta DBC$ có  DC chung, $\widehat{D}=\widehat{C}$(gt), AD = BC (gt).

Suy ra: $\Delta ADC=\Delta DBC\left(c.g.c\right)$ nên $\widehat{BCD}=\widehat{ADC}$( Cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \widehat{ODC}=\widehat{OCD}\Rightarrow \Delta OCD$ là tam giác cân, mà góc $\widehat{DOC}=60°$.

=> $\Rightarrow \Delta OCD$ là tam giác đều.

Tương tự tam giác OAB là tam giác đều.

Ta có $\Delta OCD, \Delta OAB$ là các tam giác đều, BM, CN là các đường cao nên là trung tuyến.

Suy ra M là trung điểm OA, N là trung điểm OD. Do đó MN là đường trung bình của tam giác OAD $\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AD$    (1)

Mặt khác PM, PN là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông $△$MBC và $△$NBC nên  $PM=PN=\frac{1}{2}BC$  (2)

Mà AD = BC   (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra: PM = PN = MN. Vậy tam giác MNP là tam giác đều.