Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: ac+bd≤a+bc+d

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ac+bda+bc+d=aa+b.cc+d+ba+b.dc+d≤12aa+b+cc+d+12ba+b+dc+d=12a+ba+b+c+dc+d=1 ⇒ac+bd≤a+bc+d (đpcm)

Câu hỏi:

12/07/2024 1,424

Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: $\sqrt{a c} + \sqrt{b d} \leq \sqrt{(a + b) (c + d)}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 8: Bất đẳng thức có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

$\begin{matrix} \frac{\sqrt{a c} + \sqrt{b d}}{\sqrt{(a + b) (c + d)}} = \sqrt{\frac{a}{(a + b)} . \frac{c}{(c + d)}} + \sqrt{\frac{b}{(a + b)} . \frac{d}{(c + d)}} \\ \leq \frac{1}{2} (\frac{a}{a + b} + \frac{c}{c + d}) + \frac{1}{2} (\frac{b}{a + b} + \frac{d}{c + d}) = \frac{1}{2} (\frac{a + b}{a + b} + \frac{c + d}{c + d}) = 1 \end{matrix}$

$\Rightarrow \sqrt{a c} + \sqrt{b d} \leq \sqrt{(a + b) (c + d)}$ (đpcm)

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a b c = 1$ . CMR $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{matrix} \frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \frac{2 \sqrt[]{b c}}{\sqrt{a}} + \frac{2 \sqrt{c a}}{\sqrt{b}} + \frac{2 \sqrt{a b}}{\sqrt{c}} = 2 (\sqrt{\frac{b c}{a}} + \sqrt{\frac{c a}{b}} + \sqrt{\frac{a b}{c}}) \\ = (\sqrt{\frac{b c}{a}} + \sqrt{\frac{c a}{b}}) + (\sqrt{\frac{c a}{b}} + \sqrt{\frac{a b}{c}}) + (\sqrt{\frac{a b}{c}} + \sqrt{\frac{b c}{a}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \geq 2 \sqrt{\sqrt{\frac{b c}{a}} \sqrt{\frac{c a}{b}}} + 2 \sqrt{\sqrt{\frac{c a}{b}} \sqrt{\frac{a b}{c}}} + 2 \sqrt{\sqrt{\frac{a b}{c}} \sqrt{\frac{b c}{a}}} \\ = 2 (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) = (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \\ \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3 \sqrt[3]{\sqrt{a} \sqrt{b} \sqrt{c}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3 \end{matrix}$

Vậy $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3$

Câu 2

Chứng minh rằng: $a + \frac{1}{b (a - b)} \geq 3, \forall a > b > 0$

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

$a + \frac{1}{b (a - b)} = b + (a - b) + \frac{1}{b (a - b)} \geq 3 \sqrt[3]{b . (a - b) . \frac{1}{b (a - b)}} = 3$

Câu 3