Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G.
Cho các phát biểu sau:
(I) \[AD + BE + CF > \frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right)\];
(II) AD + BE + CF < AB + BC + AC.
Chọn khẳng định đúng:
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
• Ta xét (I):
Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên ta có \(GB = \frac{2}{3}BE\) và \(GC = \frac{2}{3}CF\).
∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).
Suy ra \(\frac{2}{3}BE + \frac{2}{3}CF > BC\).
Hay \(\frac{2}{3}\left( {BE + CF} \right) > BC\).
Do đó \(BE + CF > \frac{3}{2}BC\) (1).
Chứng minh tương tự ta được:
+) \(AD + BE > \frac{3}{2}AB\) (2).
+) \(AD + CF > \frac{3}{2}AC\) (3).
Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:
\(2AD + 2BE + 2CF > \frac{3}{2}AB + \frac{3}{2}BC + \frac{3}{2}AC\).
Suy ra \(2\left( {AD + BE + CF} \right) > \frac{3}{2}\left( {AB + BC + AC} \right)\).
Do đó \(AD + BE + CF > \frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right)\).
Vậy (I) đúng.
• Ta xét (II):
Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.
Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:
DA = DA’,
\(\widehat {ADB} = \widehat {A'DC}\) (hai góc đối đỉnh),
BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC),
Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).
Suy ra AB = A’C (hai cạnh tương ứng).
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được:
AA’ < AC + A’C.
Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB (4).
Chứng minh tương tự, ta được:
+) 2BE < AB + BC (5).
+) 2CF < AC + BC (6).
Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được:
2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.
Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).
Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.
Vậy (II) đúng.
Kết luận: cả (I) và (II) đều đúng.
Ta chọn phương án C.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
• Vì D là trung điểm của AC nên AD = DC = \(\frac{1}{2}\)AC.
Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB = \(\frac{1}{2}\)AB.
Mà AB = AC (do DABC cân tại A)
Suy ra AE = AD = BE = CD. Do đó phương án C là đúng.
• Xét DEBC và DDCB có:
BE = CD (chứng minh trên),
\(\widehat {DCB} = \widehat {EBC}\)(do DABC cân tại A),
BC là cạnh chung
Do đó DEBC = DDCB (c.g.c)
Suy ra EC = BD (hai cạnh tương ứng)
Xét DABC có trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.
Suy ra EG = \(\frac{1}{3}\)CE và GD = \(\frac{1}{3}\)BD
Mà BD = EC (chứng minh trên) nên EG = \(\frac{1}{3}\)BD hay BD = 3EG
Do đó phương án D là đúng.
• Ta có EG = \(\frac{1}{3}\)CE và GD = \(\frac{1}{3}\)BD
Mà BD = EC nên EG = GD.
Suy ra G nằm trên đường trung trực của ED.
Lại có AE = AD nên A cũng nằm trên đường trung trực của ED.
Do đó AG là đường trung trực của ED nên phương án A là đúng.
• Xét DBCG, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:
BG + CG > BC
Suy ra \(\frac{1}{2}\)BG + \(\frac{1}{2}\)CG > \(\frac{1}{2}\)BC
Mà GD = \(\frac{1}{2}\)BG, GE = \(\frac{1}{2}\)CG (do G là trọng tâm tam giác ABC).
Do đó GD + GE > \(\frac{1}{2}\)BC nên phương án B là sai.
Vậy ta chọn phương án B.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có CI = \(\frac{1}{2}\)AB (giả thiết), IA = IB (vì I là trung điểm của AB).
Nên AI = BI = CI
Xét DIBC có IB = IC nên tam giác IBC cân tại I.
Suy ra \(\widehat {ICB} = \widehat {IBC}\)
Xét DIAC có IA = IC nên tam giác IAC cân tại I
Suy ra \(\widehat {ICA} = \widehat {IAC}\)
Xét DABC có \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)
Hay \(\widehat {IBC} + \widehat {IAC} + \widehat {ICB} + \widehat {ICA} = 180^\circ \)
Mà \(\widehat {ICB} = \widehat {IBC}\),\(\widehat {ICA} = \widehat {IAC}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(2(\widehat {ICB} + \widehat {ACI}) = 180^\circ \)
Do đó \(\widehat {ACB} = 180^\circ :2 = 90^\circ \)
Vậy ta chọn phương án A.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập