Cho tam giác DEG cân tại D có H là trực tâm. Biết \(\widehat {EHG} = 136^\circ \). Số đo các góc D, E, G lần lượt là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì DABM vuông tại M nên nên \(\widehat {MAB} + \widehat {MBA} = 90^\circ \)(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Vì DACN vuông tại N nên nên \(\widehat {NAC} + \widehat {NCA} = 90^\circ \)(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {MAB} + \widehat {MBA} = \widehat {NAC} + \widehat {NCA}\)

Do đó \(\widehat {MBA} = \widehat {NCA}\)        (1)

Ta có \(\widehat {PBA} + \widehat {MBA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

          \(\widehat {QCA} + \widehat {NCA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {PBA} + \widehat {MBA} = \widehat {QCA} + \widehat {NCA}\)      (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {PBA} = \widehat {QCA}\)

Xét DABP và DQCA có

AB = CQ (giả thiết),

\(\widehat {PBA} = \widehat {ACQ}\) (chứng minh trên),

BP = AC (giả thiết)

Suy ra ΔABP = ∆QCA (c.g.c)

Do đó AP = AQ (hai cạnh tương ứng).

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {F{\rm{AE}}} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {F{\rm{AE}}} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Lại có AF = AE (giả thiết)

Suy ra tam giác AEF vuông cân tại A

Do đó \(\widehat {{\rm{AEF}}} = \widehat {{\rm{AFE}}} = 45^\circ \)

Gọi K là giao điểm của FC và EI.

Vì FC là trung trực của EI nên FC ⊥ EI tại trung điểm K của EI.

Xét DBFK vuông tại K có \(\widehat {KBF} + \widehat {KFB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {KFB} = 90^\circ - \widehat {KBF} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Ta có \(\widehat {KFB} = \widehat {KFE} + \widehat {EFB}\) (hai góc kề nhau)

Suy ra \(\widehat {KFE} = \widehat {KFB} - \widehat {EFB} = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ \).

Vì FC là trung trực của EI nên FE = FI.

Dễ dàng chứng minh được DFEK = DFIK.

Do đó \(\widehat {EFK} = \widehat {IFK}\)

Mà \(\widehat {KFE} = 15^\circ \) nên \(\widehat {IFK} = 15^\circ \)

Ta có \(\widehat {BFI} = \widehat {BFK} + \widehat {KFI}\) (hai góc kề nhau)

Hay \(\widehat {BFI} = 60^\circ + 15^\circ = 75^\circ \).

Vậy ta chọn phương án C.