Cho tam giác ABC nhọn có BM và CN là hai đường cao. Trên tia đối của BM lấy P sao cho BP = AC, trên tia đối của CN lấy Q sao cho CQ = AB. Chọn khẳng định đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {F{\rm{AE}}} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {F{\rm{AE}}} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Lại có AF = AE (giả thiết)

Suy ra tam giác AEF vuông cân tại A

Do đó \(\widehat {{\rm{AEF}}} = \widehat {{\rm{AFE}}} = 45^\circ \)

Gọi K là giao điểm của FC và EI.

Vì FC là trung trực của EI nên FC ⊥ EI tại trung điểm K của EI.

Xét DBFK vuông tại K có \(\widehat {KBF} + \widehat {KFB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {KFB} = 90^\circ - \widehat {KBF} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Ta có \(\widehat {KFB} = \widehat {KFE} + \widehat {EFB}\) (hai góc kề nhau)

Suy ra \(\widehat {KFE} = \widehat {KFB} - \widehat {EFB} = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ \).

Vì FC là trung trực của EI nên FE = FI.

Dễ dàng chứng minh được DFEK = DFIK.

Do đó \(\widehat {EFK} = \widehat {IFK}\)

Mà \(\widehat {KFE} = 15^\circ \) nên \(\widehat {IFK} = 15^\circ \)

Ta có \(\widehat {BFI} = \widehat {BFK} + \widehat {KFI}\) (hai góc kề nhau)

Hay \(\widehat {BFI} = 60^\circ + 15^\circ = 75^\circ \).

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Gọi giao điểm của DH với EG là P, giao điểm của EH với DG là M, giao điểm của GH với DE là N.

Vì H là trực tâm tam giác DEG nên DP, EM, GN là ba đường cao.

Xét DEHG có \(\widehat {HEG} + \widehat {EHG} + \widehat {HGE} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {HEG} + \widehat {HGE} = 180^\circ - \widehat {EHG} = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ \).

• Xét DENG và DGME có:

\(\widehat {ENG} = \widehat {GME}( = 90^\circ )\)

EG là cạnh chung,

\(\widehat {NEG} = \widehat {MGE}\) (do DDEG cân tại D)

Suy ra ΔENG = ∆GME (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó \(\widehat {NGE} = \widehat {MEG}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {NGE} + \widehat {MEG} = 44^\circ \) (do \(\widehat {HGE} + \widehat {HEG} = 44^\circ \))

Suy ra \(\widehat {NGE} = \widehat {MEG} = 22^\circ \)

Vì DMEG vuông tại M nên \(\widehat {MGE} + \widehat {MEG} = 90^\circ \)(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {MGE} = 90^\circ - \widehat {MEG} = 90^\circ - 22^\circ = 68^\circ \) hay \(\widehat {DGE} = 68^\circ \).

Mà \(\widehat {DEG} = \widehat {DGE}\)(do DDEG cân tại D) nên \(\widehat {DEG} = 68^\circ \).

Xét DEDG có \(\widehat {DGE} + \widehat {EDG} + \widehat {DEG} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {EDG} = 180^\circ - \widehat {DEG} - \widehat {DGE} = 180^\circ - 68^\circ - 68^\circ = 44^\circ \).

Vậy ta chọn phương án C.