Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi M là tiếp điểm của đường thẳng d và đường tròn.

Khi đó IM = R và IM là khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d.

Ta có: d(I, d) = $\frac{\left|1+2-2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra R = IM = $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Phương trình đường tròn (I) là: (x – 1)² + (y – 2)² = $\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó $M\left(\frac{3}{2};2\right),N\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$

Đường trung trực d của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(1;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$x-\frac{3}{2}+2\left(y-2\right)=0\iff 2x+4y-11=0$

Đường trung trực $∆$ của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận $\overrightarrow{AC}=\left(3;5\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$3\left(x-\frac{5}{2}\right)+5\left(y-\frac{7}{2}\right)=0\iff 3x+5y-25=0$

Đường thẳng d cắt đường thẳng $∆$ cắt nhau tại điểm $I\left(\frac{45}{2};-\frac{17}{2}\right)$ cách đều ba điểm A, B, C.

Do đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, C có tâm $I\left(\frac{45}{2};-\frac{17}{2}\right)$ và bán kính $R^2=I{A}^2={\left(1-\frac{45}{2}\right)}^2+{\left(1+\frac{17}{2}\right)}^2=\frac{1105}{2}$

Ta có ${\left(\frac{45}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{17}{2}\right)}^2-\frac{1105}{2}=26$

Khi đó đường tròn (C) có phương trình là:

x² + y² – 45x + 17y + 36 = 0.