Cho tam giác MNP nhọn. H là hình chiếu của P trên MN. K là hình chiếu của H trên MP. So sánh nào dưới đây đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: BM = BC (giả thiết) ⇒ ∆BMC cân tại B $\Rightarrow \widehat{MCB}=\widehat{CMB}$(1)

Lại có: $\widehat{MCB}+\widehat{MCA}=90°$ và $\widehat{CMH}+\widehat{MCH}=90°$  (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow \widehat{MCH}=\widehat{MCN}$

Xét ∆MCH và ∆MCN có:

MN là cạnh chung

$\widehat{MCH}=\widehat{MCN}$ (chứng minh trên)

CH = CN (giả thiết)

Suy ra ∆MCH và ∆MCN (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{MNC}=\widehat{MHC}=90°$ (2 góc tương ứng). Do đó MN ⊥ AC.

Xét ∆AMN có AN là đường vuông góc hạ từ A xuống MN (chứng minh trên) và AM là đường xiên.

Suy ra AN < AM

Mà BM = BC; CH = CN (giả thiết)

Suy ra: BM + MA + CH > BC + NA + CN

Do đó: BA + CH > BC + AC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác BAM vuông tại A nên AB < BM (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Mà BM = BD + DM ⇒ BA < BD + DM(1)

Mặt khác: BM = BE – ME ⇒ BA < BE – ME (2)

Cộng hai vế cùa (1) và (2) ta được: 2BA < BD + BE + MD – ME (3)

Vì M là trung điểm của AC nên AM = MC

Xét hai tam giác vuông ADM và CEM có:

AM = CM (chứng minh trên)

$\widehat{AMD}=\widehat{EMC}$ (đối đỉnh)

Suy ra ∆ADM = ∆CEM (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó DM = ME (hai cạnh tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: 2AB < BD + BE.