Cho ∆ABC cân tại A. Trên 2 cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho AM = AN. So sánh BN với BC + MN đúng là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

∆ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất)

Mà AM = AN (giả thiết) suy ra BM = CN

Xét hai tam giác vuông MBH và NCK có:

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

BM = CN

Suy ra ∆MBH = ∆NCK (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó: BH = CK và MH = NK

Có AM = AN (giả thiết) suy ra ∆AMN cân tại A

⇒ $\widehat{AMN}=\widehat{ANM}$ (tính chất)

Mà $\widehat{AMN}+\widehat{ANM}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{AMN}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ (1)

Có $\widehat{B}=\widehat{C}$ mà $\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{B}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ (1)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{B}$ mà hai góc đồng vị nên MN // BC.

Mà BC ⊥ MH nên MN ⊥ MH

Xét hai tam giác vuông HMN và NKH có

MH = NK (chứng minh trên)

NH là cạnh chung

Suy ra ∆HMN = ∆NKH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó MN = HK

Mặt khác: BN > BK (quan hệ đường vuông góc – đường xiên)

Suy ra: 2BN > 2BK = 2(BH + HK) = 2BH + 2HK = BH + KC + MN + HK = BC + MN

Do đó: $BN>\frac{BC+MN}{2}$.