Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường trung trực của AB cắt BC tại M. Gọi N là trung điểm của AC. Biết AB = 20 cm. Độ dài MN là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

M thuộc đường trung trực của AB nên MA = MB (tính chất đường trung trực)

⇒ ∆MAB cân tại M ⇒ $\widehat{MBA}=\widehat{MAB}$  (tính chất)

Tam giác ABC vuông tại A nên:

$\widehat{MBA}+\widehat{C}=90°$

Và $\widehat{MAB}+\widehat{MAC}=90°$

Do đó $\widehat{C}=\widehat{MAC}$ ⇒ ∆MAC cân tại M ⇒ MA = MC

Do đó M thuộc đường trung trực của AC

Lại có N là trung điểm của AC (giả thiết)

Suy ra MN là đường trung trực của AC

⇒ MN ⊥ AC

Mà AB ⊥ AC

Do đó MN // AB ⇒ $\widehat{BAM}=\widehat{AMN}$  (hai góc so le trong)

Gọi H là trung điểm của AC

Xét hai tam giác vuông AHM và MNA có

AM là cạnh chung

$\widehat{HAM}=\widehat{AMN}$  (cmt)

Suy ra ∆AHM = ∆MNA (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó AH = MN (hai cạnh tương ứng)

Mà AH = $\frac{1}{2}AB$ 

Nên $MN=\frac{1}{2}AB=\frac{20}{2}=10\left(cm\right)$ 

Vậy MN = 10 cm.