Xét các số thực x,y thỏa mãn 2x2+y2+1≤x2+y2−2x+2.4x . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=8x+42x−y+1 gần nhất với số nào dưới đây A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Chọn C Nhận xét x2+y2−2x+2>0∀x;y Bất phương trình 2x2+y2+1≤x2+y2−2x+2.4x⇔2x2+y2+122x≤x2+y2−2x+2 . ⇔2x2+y2−2x+1≤x2+y2−2x+2 Đặt t=x2+y2−2x+1 Bất phương trình ⇔2t≤t+1⇔2t−t−1≤0 Đặt ft=2t−t−1 . Ta thấy f0=f1=0 . Ta có f't=2tln2−1 f't=0⇔2tln2=1⇔t=log21ln2≈0,52 Quan sats BBT ta thấy ft≤0⇔0≤t≤1 0≤x2+y2−2x+1≤1⇔x−12+y2≤1(1) Xét P=8x+42x−y+1⇔2Px−Py+P=8x+4 ⇔P−4=8−2Px+Py⇔P−4+2P−8=8−2Px+2P−8+Py ⇔3P−12=8−2Px−1+Py ⇔3P−122=8−2Px−1+Py2≤8−2P2+P2x−12+y2 Thế vào ta có 3P−122≤8−2P2+P2⇔4P2−40P+80≤0⇔5−5≤P≤5+5 . Dấu “=” xảy ra khi 8−2PP=x−1y=−25x−12+y2=1⇔x−1=−25y−25y2=1⇔x−1=−25yy=±53⇔x=13y=53x=53y=−53 Vậy giá trị nhỏ nhất của là 5−5≈2,76 gần giá trị 3 nhất.

Câu hỏi:

06/12/2022 4,399

Xét các số thực x,y thỏa mãn $2^{x^{2} + y^{2} + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2) {.4}^{x}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{8 x + 4}{2 x - y + 1}$ gần nhất với số nào dưới đây

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 46 câu Trắc nghiệm Toán 12 Mũ và lôgarit có đáp án (Mới nhất) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C

Nhận xét $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 > 0 \forall x; y$

Bất phương trình $2^{x^{2} + y^{2} + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2) {.4}^{x} \Leftrightarrow \frac{2^{x^{2} + y^{2} + 1}}{2^{2 x}} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2)$ .

$\Leftrightarrow 2^{x^{2} + y^{2} - 2 x + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2)$

Đặt $t = x^{2} + y^{2} - 2 x + 1$

Bất phương trình $\Leftrightarrow 2^{t} \leq t + 1$ $\Leftrightarrow 2^{t} - t - 1 \leq 0$

Đặt $f (t) = 2^{t} - t - 1$ . Ta thấy $f (0) = f (1) = 0$ .

Ta có $f^{'} (t) = 2^{t} \ln 2 - 1$

$f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow 2^{t} \ln 2 = 1 \Leftrightarrow t = \log_{2} (\frac{1}{\ln 2}) \approx 0, 52$

Xét các số thực x,y thỏa mãn 2^x^2+y^2+1<=(x^2+y^2-2x+2).4^x. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=8x+4/2x-y+1 gần nhất (ảnh 1)

Quan sats BBT ta thấy $f (t) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq t \leq 1$

$0 \leq x^{2} + y^{2} - 2 x + 1 \leq 1 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} \leq 1 (1)$

Xét $P = \frac{8 x + 4}{2 x - y + 1} \Leftrightarrow 2 P x - P y + P = 8 x + 4$

$\Leftrightarrow P - 4 = (8 - 2 P) x + P y$ $\Leftrightarrow P - 4 + 2 P - 8 = (8 - 2 P) x + 2 P - 8 + P y$

$\Leftrightarrow 3 P - 12 = (8 - 2 P) (x - 1) + P y$

$\Leftrightarrow {(3 P - 12)}^{2} = {[(8 - 2 P) (x - 1) + P y]}^{2} \leq [{(8 - 2 P)}^{2} + P^{2}] [{(x - 1)}^{2} + y^{2}]$

Thế vào ta có ${(3 P - 12)}^{2} \leq [{(8 - 2 P)}^{2} + P^{2}] \Leftrightarrow 4 P^{2} - 40 P + 80 \leq 0 \Leftrightarrow 5 - \sqrt{5} \leq P \leq 5 + \sqrt{5}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} \frac{8 - 2 P}{P} = \frac{x - 1}{y} = \frac{- 2}{\sqrt{5}} \\ {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = \frac{- 2}{\sqrt{5}} y \\ {(\frac{- 2}{\sqrt{5}} y)}^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = \frac{- 2}{\sqrt{5}} y \\ y = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = \frac{1}{3} \\ y = \frac{\sqrt{5}}{3} \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = \frac{5}{3} \\ y = \frac{- \sqrt{5}}{3} \end{cases} \end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của là $5 - \sqrt{5} \approx 2, 76$ gần giá trị 3 nhất.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x \geq 1$ là

A. $(10; + \infty)$

B. $(0; + \infty)$

C. $[10; + \infty)$

D. $(- \infty; 10)$

Lời giải

Chọn C

$\log x \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 10$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[10; + \infty)$ .

Câu 2

Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{2} a - 2 \log_{4} b = 4$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 16 b^{2}$

B. $a = 8 b$

C. $a = 16 b$

D. $a = 16 b^{4}$

Lời giải

Chọn C

Ta có $\log_{2} a - 2 \log_{4} b = 4$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \log_{2} a - 2 \log_{2^{2}} b = 4 \Leftrightarrow \log_{2} a - 2. \frac{1}{2} \log_{2} b = 4 \Leftrightarrow \log_{2} a - \log_{2} b = 4 \\ \Leftrightarrow \log_{2} \frac{a}{b} = 4 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = 2^{4} \Leftrightarrow a = 16 b \end{array}$

Câu 3

Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{8} (a b)$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = b^{2}$

B. $a^{3} = b$

C. $a = b$

D. $a^{2} = b$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn $9^{\log_{3} (a b)} = 4 a$ . Giá trị của $a b^{2}$ bằng

A. 3

B. 6

C. 2

D. 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{3} a - 2 \log_{9} b = 3$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 27 b$

B. $a = 9 b$

C. $a = 27 b^{4}$

D. $a = 27 b^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (36 - x^{2}) \geq 3$ là

A. $(- \infty; - 3] \cup [3; + \infty)$

B. $(- \infty; 3]$

C. $[- 3; 3]$

D. $(0; 3]$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Với a là số thực dương tùy ý, $\ln (5 a) - \ln (3 a)$ bằng

A. $\frac{\ln (5 a)}{\ln (3 a)}$

B. $\ln (2 a)$

C. $\ln \frac{5}{3}$

D. $\frac{\ln 5}{\ln 3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Xét các số thực x,y thỏa mãn $2^{x^{2} + y^{2} + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2) {.4}^{x}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{8 x + 4}{2 x - y + 1}$ gần nhất với số nào dưới đây

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x \geq 1$ là

Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{2} a - 2 \log_{4} b = 4$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{8} (a b)$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn $9^{\log_{3} (a b)} = 4 a$ . Giá trị của $a b^{2}$ bằng

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{3} a - 2 \log_{9} b = 3$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (36 - x^{2}) \geq 3$ là

Với a là số thực dương tùy ý, $\ln (5 a) - \ln (3 a)$ bằng