Xét các số thực x,y  thỏa mãn $2^{x^2+y^2+1}\le \left(x^2+y^2-2x+2\right){.4}^x$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{8x+4}{2x-y+1}$  gần nhất với số nào dưới đây

Chọn C

Nhận xét $x^2+y^2-2x+2>0\forall x;y$

Bất phương trình $2^{x^2+y^2+1}\le \left(x^2+y^2-2x+2\right){.4}^x\iff \frac{2^{x^2+y^2+1}}{2^{2x}}\le \left(x^2+y^2-2x+2\right)$ .

$\iff 2^{x^2+y^2-2x+1}\le \left(x^2+y^2-2x+2\right)$

Đặt  $t=x^2+y^2-2x+1$

Bất phương trình $\iff 2^t\le t+1$$\iff 2^t-t-1\le 0$

Đặt $f\left(t\right)=2^t-t-1$ . Ta thấy $f\left(0\right)=f\left(1\right)=0$  .

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=2^t\ln 2-1$

$f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff 2^t\ln 2=1\iff t={\log }_2\left(\frac{1}{\ln 2}\right)\approx 0,52$

Quan sats BBT ta thấy $f\left(t\right)\le 0\iff 0\le t\le 1$

 $0\le x^2+y^2-2x+1\le 1\iff {\left(x-1\right)}^2+y^2\le 1\left(1\right)$

Xét  $P=\frac{8x+4}{2x-y+1}\iff 2Px-Py+P=8x+4$

$\iff P-4=\left(8-2P\right)x+Py$$\iff P-4+2P-8=\left(8-2P\right)x+2P-8+Py$

$\iff 3P-12=\left(8-2P\right)\left(x-1\right)+Py$

$\iff {\left(3P-12\right)}^2={\left[\left(8-2P\right)\left(x-1\right)+Py\right]}^2\le \left[{\left(8-2P\right)}^2+P^2\right]\left[{\left(x-1\right)}^2+y^2\right]$

Thế vào ta có ${\left(3P-12\right)}^2\le \left[{\left(8-2P\right)}^2+P^2\right]\iff 4P^2-40P+80\le 0\iff 5-\sqrt{5}\le P\le 5+\sqrt{5}$  .

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}\frac{8-2P}{P}=\frac{x-1}{y}=\frac{-2}{\sqrt{5}}\\ {\left(x-1\right)}^2+y^2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-1=\frac{-2}{\sqrt{5}}y\\ {\left(\frac{-2}{\sqrt{5}}y\right)}^2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-1=\frac{-2}{\sqrt{5}}y\\ y=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{3}\\ y=\frac{-\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của là  $5-\sqrt{5}\approx 2,76$ gần giá trị 3 nhất.