Xét các số thực x,y thỏa mãn 2x2+y2+1≤x2+y2−2x+2.4x . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=8x+42x−y+1 gần nhất với số nào dưới đây A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Chọn C Nhận xét x2+y2−2x+2>0∀x;y Bất phương trình 2x2+y2+1≤x2+y2−2x+2.4x⇔2x2+y2+122x≤x2+y2−2x+2 . ⇔2x2+y2−2x+1≤x2+y2−2x+2 Đặt t=x2+y2−2x+1 Bất phương trình ⇔2t≤t+1⇔2t−t−1≤0 Đặt ft=2t−t−1 . Ta thấy f0=f1=0 . Ta có f't=2tln2−1 f't=0⇔2tln2=1⇔t=log21ln2≈0,52 Quan sats BBT ta thấy ft≤0⇔0≤t≤1 0≤x2+y2−2x+1≤1⇔x−12+y2≤1(1) Xét P=8x+42x−y+1⇔2Px−Py+P=8x+4 ⇔P−4=8−2Px+Py⇔P−4+2P−8=8−2Px+2P−8+Py ⇔3P−12=8−2Px−1+Py ⇔3P−122=8−2Px−1+Py2≤8−2P2+P2x−12+y2 Thế vào ta có 3P−122≤8−2P2+P2⇔4P2−40P+80≤0⇔5−5≤P≤5+5 . Dấu “=” xảy ra khi 8−2PP=x−1y=−25x−12+y2=1⇔x−1=−25y−25y2=1⇔x−1=−25yy=±53⇔x=13y=53x=53y=−53 Vậy giá trị nhỏ nhất của là 5−5≈2,76 gần giá trị 3 nhất.

Câu hỏi:

06/12/2022 2,596

Xét các số thực x,y thỏa mãn $2^{x^{2} + y^{2} + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2) {.4}^{x}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{8 x + 4}{2 x - y + 1}$ gần nhất với số nào dưới đây

A. 1

B. 2

C. 3

Đáp án chính xác

D. 4

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 46 câu Trắc nghiệm Toán 12 Mũ và lôgarit có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C

Nhận xét $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 > 0 \forall x; y$

Bất phương trình $2^{x^{2} + y^{2} + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2) {.4}^{x} \Leftrightarrow \frac{2^{x^{2} + y^{2} + 1}}{2^{2 x}} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2)$ .

$\Leftrightarrow 2^{x^{2} + y^{2} - 2 x + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2)$

Đặt $t = x^{2} + y^{2} - 2 x + 1$

Bất phương trình $\Leftrightarrow 2^{t} \leq t + 1$ $\Leftrightarrow 2^{t} - t - 1 \leq 0$

Đặt $f (t) = 2^{t} - t - 1$ . Ta thấy $f (0) = f (1) = 0$ .

Ta có $f^{'} (t) = 2^{t} \ln 2 - 1$

$f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow 2^{t} \ln 2 = 1 \Leftrightarrow t = \log_{2} (\frac{1}{\ln 2}) \approx 0, 52$

Xét các số thực x,y thỏa mãn 2^x^2+y^2+1<=(x^2+y^2-2x+2).4^x. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=8x+4/2x-y+1 gần nhất (ảnh 1)

Quan sats BBT ta thấy $f (t) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq t \leq 1$

$0 \leq x^{2} + y^{2} - 2 x + 1 \leq 1 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} \leq 1 (1)$

Xét $P = \frac{8 x + 4}{2 x - y + 1} \Leftrightarrow 2 P x - P y + P = 8 x + 4$

$\Leftrightarrow P - 4 = (8 - 2 P) x + P y$ $\Leftrightarrow P - 4 + 2 P - 8 = (8 - 2 P) x + 2 P - 8 + P y$

$\Leftrightarrow 3 P - 12 = (8 - 2 P) (x - 1) + P y$

$\Leftrightarrow {(3 P - 12)}^{2} = {[(8 - 2 P) (x - 1) + P y]}^{2} \leq [{(8 - 2 P)}^{2} + P^{2}] [{(x - 1)}^{2} + y^{2}]$

Thế vào ta có ${(3 P - 12)}^{2} \leq [{(8 - 2 P)}^{2} + P^{2}] \Leftrightarrow 4 P^{2} - 40 P + 80 \leq 0 \Leftrightarrow 5 - \sqrt{5} \leq P \leq 5 + \sqrt{5}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} \frac{8 - 2 P}{P} = \frac{x - 1}{y} = \frac{- 2}{\sqrt{5}} \\ {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = \frac{- 2}{\sqrt{5}} y \\ {(\frac{- 2}{\sqrt{5}} y)}^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = \frac{- 2}{\sqrt{5}} y \\ y = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = \frac{1}{3} \\ y = \frac{\sqrt{5}}{3} \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = \frac{5}{3} \\ y = \frac{- \sqrt{5}}{3} \end{cases} \end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của là $5 - \sqrt{5} \approx 2, 76$ gần giá trị 3 nhất.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{2} a - 2 \log_{4} b = 4$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 16 b^{2}$

B. $a = 8 b$

C. $a = 16 b$

D. $a = 16 b^{4}$

Xem đáp án » 06/12/2022 46,023

Câu 2:

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn $9^{\log_{3} (a b)} = 4 a$ . Giá trị của $a b^{2}$ bằng

A. 3

B. 6

C. 2

D. 4

Xem đáp án » 06/12/2022 38,141

Câu 3:

Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{8} (a b)$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = b^{2}$

B. $a^{3} = b$

C. $a = b$

D. $a^{2} = b$

Xem đáp án » 06/12/2022 34,129

Câu 4:

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{3} a - 2 \log_{9} b = 3$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 27 b$

B. $a = 9 b$

C. $a = 27 b^{4}$

D. $a = 27 b^{2}$

Xem đáp án » 05/12/2022 33,261

Câu 5:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x \geq 1$ là

A. $(10; + \infty)$

B. $(0; + \infty)$

C. $[10; + \infty)$

D. $(- \infty; 10)$

Xem đáp án » 06/12/2022 28,970

Câu 6:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (36 - x^{2}) \geq 3$ là

A. $(- \infty; - 3] \cup [3; + \infty)$

B. $(- \infty; 3]$

C. $[- 3; 3]$

D. $(0; 3]$

Xem đáp án » 05/12/2022 27,048

Câu 7:

Với a là số thực dương tùy ý, $\ln (5 a) - \ln (3 a)$ bằng

A. $\frac{\ln (5 a)}{\ln (3 a)}$

B. $\ln (2 a)$

C. $\ln \frac{5}{3}$

D. $\frac{\ln 5}{\ln 3}$

Xem đáp án » 06/12/2022 25,576

Xem thêm các câu hỏi khác »

Xét các số thực x,y thỏa mãn $2^{x^{2} + y^{2} + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2) {.4}^{x}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{8 x + 4}{2 x - y + 1}$ gần nhất với số nào dưới đây

Nhà sách VIETJACK:

Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{2} a - 2 \log_{4} b = 4$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn $9^{\log_{3} (a b)} = 4 a$ . Giá trị của $a b^{2}$ bằng

Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{8} (a b)$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{3} a - 2 \log_{9} b = 3$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x \geq 1$ là

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (36 - x^{2}) \geq 3$ là

Với a là số thực dương tùy ý, $\ln (5 a) - \ln (3 a)$ bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Xét các số thực x,y thỏa mãn 2x2+y2+1≤x2+y2−2x+2.4x . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=8x+42x−y+1 gần nhất với số nào dưới đây

Nhà sách VIETJACK:

Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log2a−2log4b=4 , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 9log3(ab)=4a . Giá trị của ab2 bằng

Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn log2a=log8ab . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log3a−2log9b=3 , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của bất phương trình logx≥1 là

Tập nghiệm của bất phương trình log336−x2≥3 là

Với a là số thực dương tùy ý, ln5a−ln3a bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Xét các số thực x,y thỏa mãn $2^{x^{2} + y^{2} + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2) {.4}^{x}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{8 x + 4}{2 x - y + 1}$ gần nhất với số nào dưới đây

Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{2} a - 2 \log_{4} b = 4$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn $9^{\log_{3} (a b)} = 4 a$ . Giá trị của $a b^{2}$ bằng

Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{8} (a b)$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{3} a - 2 \log_{9} b = 3$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x \geq 1$ là

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (36 - x^{2}) \geq 3$ là

Với a là số thực dương tùy ý, $\ln (5 a) - \ln (3 a)$ bằng