Biết rằng trong khai triển ${\left( {\frac{x}{2} + \frac{a}{x}} \right)^5}$ (với x ≠ 0), hệ số của số hạng chứa $\frac{1}{{{x^3}}}$ là 640. Khi đó giá trị của a bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có

${\left( {\frac{x}{2} + \frac{a}{x}} \right)^5}$

$= {\left( {\frac{x}{2}} \right)^5} + 5.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^4}.\left( {\frac{a}{x}} \right) + 10.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^3}.{\left( {\frac{a}{x}} \right)^2}$

     $+ 10.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}.{\left( {\frac{a}{x}} \right)^3} + 5.\frac{x}{2}.{\left( {\frac{a}{x}} \right)^4} + {\left( {\frac{a}{x}} \right)^5}$

$= \frac{{{x^5}}}{{{2^5}}} + 5.\frac{{{x^4}}}{{{2^4}}}.\frac{a}{x} + 10.\frac{{{x^3}}}{{{2^3}}}.\frac{{{a^2}}}{{{x^2}}}$$+ 10.\frac{{{x^2}}}{{{2^2}}}.\frac{{{a^3}}}{{{x^3}}} + 5.\frac{x}{2}.\frac{{{a^4}}}{{{x^4}}} + \frac{{{a^5}}}{{{x^5}}}$

$= \frac{1}{{{2^5}}}{x^5} + \frac{{5a}}{{{2^4}}}{x^3} + \frac{{10.{a^2}}}{{{2^3}}}x$$+ \frac{{10{a^3}}}{{{2^2}}}.\frac{1}{x} + \frac{{5{a^4}}}{2}.\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{{{a^5}}}{{{x^5}}}$

Số hạng chứa $\frac{1}{{{x^3}}}$ trong khai triển ${\left( {\frac{x}{2} + \frac{a}{x}} \right)^5}$ là: $\frac{{5{a^4}}}{2}.\frac{1}{{{x^3}}}$.

Theo đề, ta có hệ số của số hạng chứa $\frac{1}{{{x^3}}}$ là 640.

Tức là, $\frac{{5{a^4}}}{2} = 640$.

⇔ 5a⁴ = 1 280

⇔ a⁴ = 256

⇔ a = 4 hoặc a = –4.

Vậy ta chọn phương án C.