Cho hàm số f(x) xác định trên ℝ −1;1 và thỏa mãn: f'x=1x2−1. Biết rằng f−3+f3=0 và f−12+f12=2. Tính T=f−2+f0+f4.

Ta có: fx=∫1x2−1dx=12.∫1x−1−1x+1dx=12.lnx−1x+1+CVới x∈−∞;−1∪1;+∞: fx=12lnx−1x+1+C1.Mà f−3+f3=0⇔12.ln−3−1−3+1+C1+12ln3−13+1+C1=0⇔12ln2+C1+12ln12+C1=0⇔C1=0.Do đó với x∈−∞;−1∪1;+∞:fx=12lnx−1x+1⇒f−2=12ln3;f4=12ln35.Với x∈−1;1: fx=12lnx−1x+1+C2.Mà f−12+f12=2⇔12.ln−12−1−12+1+C2+12.ln12−112+1+C2=2⇔12ln3+C2+12ln3+C2=2⇔C2=1.Do đó với x∈−1;1:fx=12.lnx−1x+1+1⇒f0=1.Vậy T=f−2+f0+f4=1+12ln95.

Câu hỏi:

15/01/2023 192

Cho hàm số f(x) xác định trên $ℝ \ \{- 1; 1\}$ và thỏa mãn: $f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ . Biết rằng $f (- 3) + f (3) = 0$ và $f (- \frac{1}{2}) + f (\frac{1}{2}) = 2$ . Tính $T = f (- 2) + f (0) + f (4)$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

f (x) = \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} . \int (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) d x = \frac{1}{2} . \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C

Với

x \in (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)

:

f (x) = \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C_{1}

.
Mà

f (- 3) + f (3) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} . \ln |\frac{- 3 - 1}{- 3 + 1}| + C_{1} + \frac{1}{2} \ln |\frac{3 - 1}{3 + 1}| + C_{1} = 0

\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln 2 + C_{1} + \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} + C_{1} = 0 \Leftrightarrow C_{1} = 0

.
Do đó với

x \in (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty) : f (x) = \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| \Rightarrow f (- 2) = \frac{1}{2} \ln 3; f (4) = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{5}

.
Với

x \in (- 1; 1)

:

f (x) = \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C_{2}

.
Mà

f (- \frac{1}{2}) + f (\frac{1}{2}) = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2} . \ln |\frac{- \frac{1}{2} - 1}{- \frac{1}{2} + 1}| + C_{2} + \frac{1}{2} . \ln |\frac{\frac{1}{2} - 1}{\frac{1}{2} + 1}| + C_{2} = 2

\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln 3 + C_{2} + \frac{1}{2} \ln 3 + C_{2} = 2 \Leftrightarrow C_{2} = 1

.
Do đó với

x \in (- 1; 1) : f (x) = \frac{1}{2} . \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + 1 \Rightarrow f (0) = 1

.
Vậy

T = f (- 2) + f (0) + f (4) = 1 + \frac{1}{2} \ln \frac{9}{5}

.

Bình luận

Câu 1:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - x$ thỏa mãn $F (0) = 2$ , giá trị của F(2) bằng

A.

\frac{8}{3}

.

B.

\frac{- 8}{3}

.

C. 2.

D. -5.

Xem đáp án » 12/01/2023 20,817

Câu 2:

Khẳng định nào say đây đúng?

A.

\int \cos x d x = \sin x

.

B.

\int \cos x d x = \sin x + C

.

C.

\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C

.

D.

\int x^{2} d x = 2 x + C

.

Xem đáp án » 12/01/2023 11,429

Câu 3:

Cho $A (0; 2; - 2), B (- 3; 1; - 1), C (4; 3; 0), D (1; 2; m) .$ Tìm m để 4 điểm A, B, C đồng phẳng.

A.

m = - 5

.

B.

m = 5

.

C.

m = - 1

.

D.

m = 1

.

Xem đáp án » 14/01/2023 8,089

Câu 4:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{3 \ln^{2} x}{x}$ là

A.

\ln^{3} x + \ln x + C

.

B.

\ln^{3} x + C

.

C.

\ln^{3} x + x + C

.

D.

\ln (\ln x) + C

.

Xem đáp án » 14/01/2023 8,058

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của (P). Biết $\vec{u} = (1; - 2; 0)$ , $\vec{v} = (0; 2; - 1)$ là cặp vectơ chỉ phương của (P).

A.

\vec{n} = (1; - 2; 0)

.

B.

\vec{n} = (2; 1; 2)

.

C.

\vec{n} = (0; 1; 2)

.

D.

\vec{n} = (2; - 1; 2)

.

Xem đáp án » 13/01/2023 7,999

Câu 6:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Cho hàm số f(x) xác định trên K và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó

F^{'} (x) = f (x)

,

\forall x \in K

.

B.

\int f' (x) d x = f (x) + C

.

C.

\int k f (x) d x = k \int f (x) d x

với là hằng số khác 0.

D. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì

F (x) = G (x) .

Xem đáp án » 15/01/2023 5,687

Câu 7:

Cho $\int_{0}^{1} (x - 3) e^{x} d x = a + b e$ . Tính a - b

A. 1.

B. -7.

C. -1.

D. 7.

Xem đáp án » 14/01/2023 5,655

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số f(x) xác định trên $ℝ \ \{- 1; 1\}$ và thỏa mãn: $f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ . Biết rằng $f (- 3) + f (3) = 0$ và $f (- \frac{1}{2}) + f (\frac{1}{2}) = 2$ . Tính $T = f (- 2) + f (0) + f (4)$ .