Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3,-2,4) và mặt phẳng $\left(P\right):\left(m^2+2m\right)x-\left(m^2+4m-1\right)y+2\left(3m-1\right)z+m^2+1=0.$

Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A đến mặt phẳng  $\left(P\right).$

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,1), B(-1,2,0), C(3,-1,2) và M là điểm thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x-y+2z+7=0.$

Tính giá trị nhỏ nhất của $P=\left|3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-7\overrightarrow{MC}\right|.$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-3=0 và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0.$  Giả sử $M\in \left(P\right)$  và $N\in \left(S\right)$  sao cho $\overrightarrow{MN}$  cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}=(1;0;1)$  và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P):ax+by+cz-3=0 (với a,b,c là các số nguyên không đồng thời bằng 0) là mặt phẳng đi qua hai điểm $M\left(0;-1;2\right),N\left(-1;1;3\right)$  và không đi qua điểm $H(0;0;2).$  Biết rằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của tổng $T=a-2b+3c+12$  bằng

Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn $m^2+n^2+p^2=3$ . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left(MNP\right)$  bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z=0.$  Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho $M{A}^2-2M{B}^2$  lớn nhất.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z-6\right)}^2=45$  và $M\left(1;4;5\right).$  Ba đường thẳng thay đổi $d_1,d_2,d_3$  nhưng luôn đôi một vuông góc với nhau tại O và cắt mặt cầu tại điểm thứ hai lần lượt là $A,B,C.$  Khoảng cách lớn nhất từ M đến mặt phẳng $\left(ABC\right)$  là