Câu hỏi:

27/01/2023 7,489

Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn $m^{2} + n^{2} + p^{2} = 3$ . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(M N P)$ bằng

A. $\frac{1}{3}$ .

\sqrt{3}

\frac{1}{\sqrt{3}}

\frac{1}{27}

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Do $M, N, P$ không trùng với gốc tọa độ nên $m \neq 0, n \neq 0, p \neq 0$ .

Phương trình mặt phẳng $(M N P)$ là: $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{m} x + \frac{1}{n} y + \frac{1}{p} z - 1 = 0$ .

Suy ra $d (O, (M N P)) = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}}}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $m^{2}, n^{2}, p^{2}$ và ba số dương $\frac{1}{m^{2}}, \frac{1}{n^{2}}, \frac{1}{p^{2}}$ ta có:

$m^{2} + n^{2} + p^{2} \geq 3 \sqrt[3]{m^{2} n^{2} p^{2}}$ và $\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{m^{2} n^{2} p^{2}}}$ .

Suy ra $(m^{2} + n^{2} + p^{2}) (\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}) \geq 9$

$\Leftrightarrow 3 \cdot (\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}) \geq 9 (do m^{2} + n^{2} + p^{2} = 3) \Leftrightarrow \frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \geq 3 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}} \geq \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy $d (O, (M N P)) \leq \frac{1}{\sqrt{3}} .$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m^{2} = n^{2} = p^{2} = 1$ .

Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(M N P)$ là $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Chọn C.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,1), B(-1,2,0), C(3,-1,2) và M là điểm thuộc mặt phẳng $(α) : 2 x - y + 2 z + 7 = 0.$

Tính giá trị nhỏ nhất của $P = |3 \vec{M A} + 5 \vec{M B} - 7 \vec{M C}| .$

A. $P_{\min} = 20.$

P_{\min} = 5.

P_{\min} = 25.

P_{\min} = 27.

Lời giải

Gọi điểm $I (x; y; z)$ sao cho $3 \vec{I A} + 5 \vec{I B} - 7 \vec{I C} = \vec{0} .$

Khi đó $\{\begin{cases} 3 (1 - x) + 5 (- 1 - x) - 7 (3 - x) = 0 \\ 3 (1 - y) + 5 (2 - y) - 7 (- 1 - y) = 0 \\ 3 (1 - z) + 5 (0 - z) - 7 (2 - z) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 23 \\ y = 20 \\ z = - 11 \end{cases} \Rightarrow I (- 23; 20; - 11) .$

Xét $P = |3 \vec{M A} + 5 \vec{M B} - 7 \vec{M C}| = |3 (\vec{M I} + \vec{I A}) + 5 (\vec{M I} + \vec{I B}) - 7 (\vec{M I} + \vec{I C})| .$

$= |\vec{M I} + (3 \vec{I A} + 5 \vec{I B} - 7 \vec{I C})| = |\vec{M I}| = M I .$

$P_{\min}$ khi MI ngắn nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $(α) .$

Khi đó: $P_{\min} = d (I, (α)) = \frac{|2. (- 23) - 20 + 2. (- 11) + 7|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 27.$

Chọn D.

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-3=0 và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z + 5 = 0.$ Giả sử $M \in (P)$ và $N \in (S)$ sao cho $\vec{M N}$ cùng phương với vectơ $\vec{u} = (1; 0; 1)$ và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.

A. $M N = 3$ .

M N = 1 + 2 \sqrt{2}

M N = 3 \sqrt{2}

M N = 14

Lời giải

$(S)$ có tâm $I (- 1; 2; 1)$ và bán kính $R = 1$ .

Ta có: $d (I, (P)) = \frac{| - 1 - 2.2 + 2.1 - 3 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = 2 > R$ .

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng $(P)$ và $α$ là góc giữa MN và NH

Vì $\vec{M N}$ cùng phương với $\vec{u}$ nên góc $α$ có số đo không đổi.

$Δ M N H$ vuông tại H có $α = \hat{H N M}$ nên $H N = M N . \cos α \Rightarrow M N = \frac{1}{\cos α} . H N$

Do đó MN lớn nhất $\Leftrightarrow H N$ lớn nhất $\Leftrightarrow H N = d (I, (P)) + R = 3.$

Có $\cos α = |\cos (\vec{u}, \vec{n_{P}})| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $M N = \frac{1}{\cos α} H N = 3 \sqrt{2}$ .

Chọn C.

Câu 3

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P):ax+by+cz-3=0 (với a,b,c là các số nguyên không đồng thời bằng 0) là mặt phẳng đi qua hai điểm $M (0; - 1; 2), N (- 1; 1; 3)$ và không đi qua điểm $H (0; 0; 2) .$ Biết rằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của tổng $T = a - 2 b + 3 c + 12$ bằng

A. -16.

B. 8.

C. 12.

D. 16.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng $(P) : x + y + z = 0.$ Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho $M A^{2} - 2 M B^{2}$ lớn nhất.

A. $M (- 2; 1; 1)$ .

M (2; - 1; 1)

M (6; - 18; 12)

M (- 6; 18; 12)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3,-2,4) và mặt phẳng $(P) : (m^{2} + 2 m) x - (m^{2} + 4 m - 1) y + 2 (3 m - 1) z + m^{2} + 1 = 0.$

Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(P) .$

A. 5.

\sqrt{29} .

\sqrt{33} .

\sqrt{21} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 6)}^{2} = 45$ và $M (1; 4; 5) .$ Ba đường thẳng thay đổi $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ nhưng luôn đôi một vuông góc với nhau tại O và cắt mặt cầu tại điểm thứ hai lần lượt là $A, B, C .$ Khoảng cách lớn nhất từ M đến mặt phẳng $(A B C)$ là

A. 3.

\sqrt{5} .

C. 4.

\sqrt{6} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn m2+n2+p2=3 . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP bằng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,1), B(-1,2,0), C(3,-1,2) và M là điểm thuộc mặt phẳng α:2x−y+2z+7=0. Tính giá trị nhỏ nhất của P=3MA→+5MB→−7MC→.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-3=0 và mặt cầu (S):x2+y2+z2+2x−4y−2z+5=0. Giả sử M∈(P) và N∈(S) sao cho MN→ cùng phương với vectơ u→=(1;0;1) và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng (P):x+y+z=0. Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA2−2MB2 lớn nhất.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3,-2,4) và mặt phẳng P:m2+2mx−m2+4m−1y+23m−1z+m2+1=0. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A đến mặt phẳng P.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn $m^{2} + n^{2} + p^{2} = 3$ . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(M N P)$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,1), B(-1,2,0), C(3,-1,2) và M là điểm thuộc mặt phẳng $(α) : 2 x - y + 2 z + 7 = 0.$

Tính giá trị nhỏ nhất của $P = |3 \vec{M A} + 5 \vec{M B} - 7 \vec{M C}| .$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng $(P) : x + y + z = 0.$ Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho $M A^{2} - 2 M B^{2}$ lớn nhất.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3,-2,4) và mặt phẳng $(P) : (m^{2} + 2 m) x - (m^{2} + 4 m - 1) y + 2 (3 m - 1) z + m^{2} + 1 = 0.$

Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(P) .$