Khi đó $\{\begin{cases} 3 (1 - x) + 5 (- 1 - x) - 7 (3 - x) = 0 \\ 3 (1 - y) + 5 (2 - y) - 7 (- 1 - y) = 0 \\ 3 (1 - z) + 5 (0 - z) - 7 (2 - z) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 23 \\ y = 20 \\ z = - 11 \end{cases} \Rightarrow I (- 23; 20; - 11) .$

Xét $P = |3 \vec{M A} + 5 \vec{M B} - 7 \vec{M C}| = |3 (\vec{M I} + \vec{I A}) + 5 (\vec{M I} + \vec{I B}) - 7 (\vec{M I} + \vec{I C})| .$

$= |\vec{M I} + (3 \vec{I A} + 5 \vec{I B} - 7 \vec{I C})| = |\vec{M I}| = M I .$

$P_{\min}$ khi MI ngắn nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $(α) .$

Khi đó: $P_{\min} = d (I, (α)) = \frac{|2. (- 23) - 20 + 2. (- 11) + 7|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 27.$

Chọn D.

Câu 2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng $(P) : x + y + z = 0.$ Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho $M A^{2} - 2 M B^{2}$ lớn nhất.

A. $M (- 2; 1; 1)$ .

M (2; - 1; 1)

M (6; - 18; 12)

M (- 6; 18; 12)

Lời giải

Gọi I thỏa mãn $\vec{I A} - 2 \vec{I B} = \vec{0} .$

Khi đó $\vec{I O} + \vec{O A} - 2 (\vec{I O} + \vec{O B}) = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{O I} = 2 \vec{O B} - \vec{O A} \Leftrightarrow I (13; - 11; 19) .$

Ta có $M A^{2} - 2 M B^{2} = {(\vec{M A})}^{2} - 2 {(\vec{M B})}^{2} = {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} - 2 {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} = - M I^{2} + (I A^{2} - 2 I B^{2}) .$

$M A^{2} - 2 M B^{2}$ lớn nhất khi MI nhỏ nhất. Khi đó I là hình chiếu vuông góc của M lên $(P)$ .

Ta tìm được $M (6; - 18; 12)$ .

Chọn C.

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn $m^{2} + n^{2} + p^{2} = 3$ . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(M N P)$ bằng

A. $\frac{1}{3}$ .

\sqrt{3}

\frac{1}{\sqrt{3}}

\frac{1}{27}

Lời giải

Do $M, N, P$ không trùng với gốc tọa độ nên $m \neq 0, n \neq 0, p \neq 0$ .

Phương trình mặt phẳng $(M N P)$ là: $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{m} x + \frac{1}{n} y + \frac{1}{p} z - 1 = 0$ .

Suy ra $d (O, (M N P)) = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}}}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $m^{2}, n^{2}, p^{2}$ và ba số dương $\frac{1}{m^{2}}, \frac{1}{n^{2}}, \frac{1}{p^{2}}$ ta có:

$m^{2} + n^{2} + p^{2} \geq 3 \sqrt[3]{m^{2} n^{2} p^{2}}$ và $\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{m^{2} n^{2} p^{2}}}$ .

Suy ra $(m^{2} + n^{2} + p^{2}) (\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}) \geq 9$

$\Leftrightarrow 3 \cdot (\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}) \geq 9 (do m^{2} + n^{2} + p^{2} = 3) \Leftrightarrow \frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \geq 3 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}} \geq \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy $d (O, (M N P)) \leq \frac{1}{\sqrt{3}} .$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m^{2} = n^{2} = p^{2} = 1$ .

Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(M N P)$ là $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Chọn C.

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-3=0 và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z + 5 = 0.$ Giả sử $M \in (P)$ và $N \in (S)$ sao cho $\vec{M N}$ cùng phương với vectơ $\vec{u} = (1; 0; 1)$ và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.

A. $M N = 3$ .

M N = 1 + 2 \sqrt{2}

M N = 3 \sqrt{2}

M N = 14

Lời giải

$(S)$ có tâm $I (- 1; 2; 1)$ và bán kính $R = 1$ .

Ta có: $d (I, (P)) = \frac{| - 1 - 2.2 + 2.1 - 3 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = 2 > R$ .

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng $(P)$ và $α$ là góc giữa MN và NH

Vì $\vec{M N}$ cùng phương với $\vec{u}$ nên góc $α$ có số đo không đổi.

$Δ M N H$ vuông tại H có $α = \hat{H N M}$ nên $H N = M N . \cos α \Rightarrow M N = \frac{1}{\cos α} . H N$

Do đó MN lớn nhất $\Leftrightarrow H N$ lớn nhất $\Leftrightarrow H N = d (I, (P)) + R = 3.$

Có $\cos α = |\cos (\vec{u}, \vec{n_{P}})| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $M N = \frac{1}{\cos α} H N = 3 \sqrt{2}$ .

Chọn C.

Câu 5

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P):ax+by+cz-3=0 (với a,b,c là các số nguyên không đồng thời bằng 0) là mặt phẳng đi qua hai điểm $M (0; - 1; 2), N (- 1; 1; 3)$ và không đi qua điểm $H (0; 0; 2) .$ Biết rằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của tổng $T = a - 2 b + 3 c + 12$ bằng

A. -16.

B. 8.

C. 12.

D. 16.

Lời giải

Gọi K là hình chiếu của H lên $(P), E$ là hình chiếu của H lên MN

Ta có $d (H; (P)) = H K$ và $d (H; M N) = H E, H K \leq H E$ (không đổi).

Vậy $d (H; (P))$ lớn nhất khi $K \equiv E,$ với E là hình chiếu của H lên MN.

Suy ra $E (\frac{- 1}{3}; \frac{- 1}{3}; \frac{7}{3})$ .

Vậy mặt phẳng $(P)$ cần tìm là mặt phẳng nhận $\vec{H E} = (- \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua M có phương trình là $- x - y + z - 3 = 0$ .

Suy ra $\{\begin{cases} a = - 1 \\ b = - 1 \\ c = 1 \end{cases}$ .

Vậy $T = 16$ .

Chọn D.

Câu 6

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2,1,3),B(1,-1,2), C(3,-6,1). Điểm $M (x; y; z)$ thuộc mặt phẳng $(O y z)$ sao cho $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $P = x + y + z .$

A. $P = 0.$

P = 2.

P = 6.

P = - 2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho A(4,5,6), B(1,1,2), M là một điểm di động trên mặt phẳng $(P) : 2 x + y + 2 z + 1 = 0.$ Khi đó $|M A - M B|$ nhận giá trị lớn nhất là

A. $\sqrt{77} .$

\sqrt{41} .

C. 7.

\sqrt{85} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 8

Trong không gian cho mặt phẳng (P):3x+y-z+5=0 và hai điểm $A (1; 0; 2), B (2; - 1; 4) .$ Tập hợp các điểm M nằm trên mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.

A. $\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 7 = 0 \\ 3 x - y + z - 5 = 0. \end{cases}$

\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 14 = 0 \\ 3 x + y - z + 5 = 0. \end{cases}

\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 7 = 0 \\ 3 x + y - z + 5 = 0. \end{cases}

\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 5 = 0 \\ 3 x + y - z + 5 = 0. \end{cases}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 9

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3,-2,4) và mặt phẳng $(P) : (m^{2} + 2 m) x - (m^{2} + 4 m - 1) y + 2 (3 m - 1) z + m^{2} + 1 = 0.$

Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(P) .$

A. 5.

\sqrt{29} .

\sqrt{33} .

\sqrt{21} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 6)}^{2} = 45$ và $M (1; 4; 5) .$ Ba đường thẳng thay đổi $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ nhưng luôn đôi một vuông góc với nhau tại O và cắt mặt cầu tại điểm thứ hai lần lượt là $A, B, C .$ Khoảng cách lớn nhất từ M đến mặt phẳng $(A B C)$ là

A. 3.

\sqrt{5} .

C. 4.

\sqrt{6} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

4.6

1983 Đánh giá

50%

40%

79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 5: Một số bài toán cực trị có đáp án

🔥 Đề thi HOT:

5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)

80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)

135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)

15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)

79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án

56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án

7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)

62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)

Nội dung liên quan:

60 câu trắc nghiệm: Hệ tọa độ trong không gian có đáp án

20 câu Trắc nghiệm Hệ tọa độ trong không gian có đáp án (Nhận biết)

20 câu Trắc nghiệm Hệ tọa độ trong không gian có đáp án (Thông hiểu)

Trắc nghiệm Hệ tọa độ trong không gian có đáp án (Vận dụng)

54 câu Trắc nghiệm Hệ tọa độ trong không gian có đáp án

39 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian có đáp án

66 câu trắc nghiệm: Phương trình mặt phẳng có đáp án

15 câu Trắc nghiệm Phương trình mặt phẳng có đáp án (Nhận biết)

15 câu Trắc nghiệm Phương trình mặt phẳng có đáp án (Thông hiểu)

15 câu Trắc nghiệm Phương trình mặt phẳng có đáp án (Vận dụng)

Danh sách câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,1), B(-1,2,0), C(3,-1,2) và M là điểm thuộc mặt phẳng α:2x−y+2z+7=0. Tính giá trị nhỏ nhất của P=3MA→+5MB→−7MC→.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng (P):x+y+z=0. Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA2−2MB2 lớn nhất.

Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn m2+n2+p2=3 . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-3=0 và mặt cầu (S):x2+y2+z2+2x−4y−2z+5=0. Giả sử M∈(P) và N∈(S) sao cho MN→ cùng phương với vectơ u→=(1;0;1) và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2,1,3),B(1,-1,2), C(3,-6,1). Điểm Mx;y;z thuộc mặt phẳng Oyz sao cho MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức P=x+y+z.

Cho A(4,5,6), B(1,1,2), M là một điểm di động trên mặt phẳng P:2x+y+2z+1=0. Khi đó MA−MB nhận giá trị lớn nhất là

Trong không gian cho mặt phẳng (P):3x+y-z+5=0 và hai điểm A1;0;2,B2;−1;4. Tập hợp các điểm M nằm trên mặt phẳng P sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3,-2,4) và mặt phẳng P:m2+2mx−m2+4m−1y+23m−1z+m2+1=0. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A đến mặt phẳng P.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,1), B(-1,2,0), C(3,-1,2) và M là điểm thuộc mặt phẳng $(α) : 2 x - y + 2 z + 7 = 0.$

Tính giá trị nhỏ nhất của $P = |3 \vec{M A} + 5 \vec{M B} - 7 \vec{M C}| .$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng $(P) : x + y + z = 0.$ Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho $M A^{2} - 2 M B^{2}$ lớn nhất.

Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn $m^{2} + n^{2} + p^{2} = 3$ . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(M N P)$ bằng

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2,1,3),B(1,-1,2), C(3,-6,1). Điểm $M (x; y; z)$ thuộc mặt phẳng $(O y z)$ sao cho $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $P = x + y + z .$

Cho A(4,5,6), B(1,1,2), M là một điểm di động trên mặt phẳng $(P) : 2 x + y + 2 z + 1 = 0.$ Khi đó $|M A - M B|$ nhận giá trị lớn nhất là

Trong không gian cho mặt phẳng (P):3x+y-z+5=0 và hai điểm $A (1; 0; 2), B (2; - 1; 4) .$ Tập hợp các điểm M nằm trên mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3,-2,4) và mặt phẳng $(P) : (m^{2} + 2 m) x - (m^{2} + 4 m - 1) y + 2 (3 m - 1) z + m^{2} + 1 = 0.$

Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(P) .$