Tìm m để hàm số \(y = \sqrt {8\cos x - 6\sin x - {{(3\sin x - 4\cos x)}^2} - 2m} \) có tập xác định là R.

Đáp án A

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ rồi lập bảng xét dấu.

Cách giải:

Ta có \(y = \sqrt {8\cos x - 6\sin x - {{\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)}^2} - 2m} \)

Hàm số trên có tập xác định R khi

\(8\cos x - 6\sin x - {\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 2m \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {4\cos x - 3\sin x} \right) - {\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 2m \ge 0\)

Đặt \(t = 4\cos x - 3\sin x\) có nghiệm khi \({t^2} \le 16 + 9 \Leftrightarrow - 5 \le t \le 5\)

Ta có bất phương trình \(2t - {t^2} - 2m \ge 0 \Leftrightarrow - 2m \ge {t^2} - 2t\) \(\left( 1 \right)\)

Đặt \(f\left( t \right) = {t^2} - 2t \Rightarrow f'\left( t \right) = 2t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Bảng biến thiên:

t	–5		1		5
\(f\left( t \right)\)	35		–1		15

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất đẳng thức \(\left( 1 \right)\) xảy ra khi \( - 2m \ge 35 \Leftrightarrow m \le - \frac{{35}}{2}\)