Phương trình: \[4{\cos ^2}\frac{x}{2} - \sqrt 3 \cos 2x = 1 + 2{\cos ^2}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\] có bao nhiêu nghiệm thuộc \[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\]?

Đáp án C

Phương pháp:

+ Sử dụng công thức hạ bậc \[{\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\]

+ Sử dụng phương pháp giải phương trình dạng \[a\sin x + b\cos x\].

Cách giải:

\[4{\cos ^2}\frac{x}{2} - \sqrt 3 \cos 2x = 1 + 2{\cos ^2}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow 2\left( {1 + \cos x} \right) - \sqrt 3 \cos 2x = 1 + 1 + \cos \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 2 + 2\cos x - \sqrt 3 \cos 2x = 2 + \sin 2x \Leftrightarrow 2\cos x = \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x\]

\[ \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x \Leftrightarrow \cos x = \cos 2x.\cos \frac{\pi }{6} + \sin 2x.\sin \frac{\pi }{6}\]

\[ \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{6} = x + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{6} = - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Các nghiệm của phương trình thuộc \[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\] là \[\left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{{18}}} \right\}\]