Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \[m\] để hàm số \[y = \sqrt {{{\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right)}^2} - 2\sin x + 2\sqrt 3 \cos x - m + 3} \] xác định với mọi \[x \in \mathbb{R}\]?

Đáp án C

Phương pháp:

+ Đặt \[t = \sin x - \sqrt 3 \cos x\], tìm khoảng giá trị của \[t\].

+ Đưa hàm số về ẩn \[t\] trên miền giá trị đã xác định được, lập BBT và kết luận.

Cách giải:

\[y = \sqrt {{{\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right)}^2} - 2\sin x + 2\sqrt 3 \cos x - m + 3} \]

\[y = \sqrt {{{\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right)}^2} - 2\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right) - m + 3} \]

+ Đặt \[t = \sin x - \sqrt 3 \cos x = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) = 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \Rightarrow - 2 \le t \le 2\]

Khi đó hàm số trở thành \[y = \sqrt {{t^2} - 2t - m + 3} \,\,\forall t \in \left[ { - 2;2} \right]\,\,\left( * \right)\].

+ Để hàm số ban đầu xác định với mọi \[x \in \mathbb{R}\] thì hàm số xác định với mọi \[t \in \left[ { - 2;2} \right]\].

Tức là \[{t^2} - 2t - m + 3 \ge 0\,\,\forall t \in \left[ { - 2;2} \right]\].

+ Xét hàm số \[f\left( t \right) = {t^2} - 2t - m + 3\] trên \[\left[ { - 2;2} \right]\] ta có BBT:

Để \[{t^2} - 2t - m + 3 \ge 0\,\,\forall t \in \left[ { - 2;2} \right]\] thì \[2 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2\].

Mà \[m\] nguyên dương          \[ \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}\].

Chú ý: Cần xác định chính xác khoảng giá trị của \[t\].