Tính tổng T các nghiệm của phương trình \[{\cos ^2}x = \sin x\cos x + 2\sin x - \cos x - 2\]trên khoảng\[\left( {\frac{\pi }{2};5\pi } \right).\]

Đáp án C

Phương pháp:

- Đưa phương trình về dạng tích.

- Giải các phương trình lượng giác cơ bản.

- Tìm nghiệm thuộc khoảng cho trước.

Cách giải:

\[{\cos ^2}x = \sin x\cos x + 2\sin x - \cos x - 2\]

\[ \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x = \sin x\left( {\cos x + 2} \right) - \left( {\cos x + 2} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right) = \left( {\cos x + 2} \right)\left( {\sin x - 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 2 + 1 + \sin x} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {\sin x + \cos x + 3} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\sin x + \cos x = - 3\left( {\,Vo\,nghiem\,do\,{1^2} + {1^2} < {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right)\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Xét\[x \in \left( {\frac{\pi }{2};5\pi } \right)\]ta có \[\frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 5\pi \Leftrightarrow \frac{1}{2} < \frac{1}{2} + 2k < 5 \Leftrightarrow 0 < k < \frac{9}{4}.\]

Mà\[k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{2};\frac{{9\pi }}{2}} \right\}.\]

Vậy \[T = \frac{{5\pi }}{2} + \frac{{9\pi }}{2} = 7\pi .\]