Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của SA, SB, BC; điểm G nằm giữa S và I sao cho\[\frac{{SG}}{{SI}} = \frac{3}{5}\].

a)  Tìm giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABCD).

b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNG).

Cách giải:

a)   Xét \[\left( {SAI} \right)\]có \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2}\\\frac{{SG}}{{SI}} = \frac{3}{5}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{SM}}{{SA}} \ne \frac{{SG}}{{SI}} \Rightarrow MG\]không song song với AI.

Gọi \[AI \cap MG = \left\{ E \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E \in MG\\E \in AI \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MG \cap \left( {ABCD} \right) = \left\{ E \right\}.\]

b)  Xét mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\]có: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{2}\\\frac{{SG}}{{SI}} = \frac{3}{5}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{SN}}{{SB}} \ne \frac{{SG}}{{SI}} \Rightarrow NG\]không song song với BC.

Gọi\[NG \cap SC = \left\{ K \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in NG \subset \left( {MNG} \right)\\K \in SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right..\]

Ta có\[\left( {MNG} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MN;\left( {MNG} \right) \cap \left( {SBC} \right) = NK.\]

Xét\[\left( {SAB} \right)\] có \[MN\parallel AB \Rightarrow MN\parallel CD.\]

Ta có \[MN\parallel CD,MN \subset \left( {MNG} \right),CD \subset \left( {SCD} \right)\]và \[K = \left( {SCD} \right) \cap \left( {MNG} \right)\]nên từ K kẻ đường thẳng\[Kx\parallel CD\], gọi\[Kx \cap SD = L.\]

\[ \Rightarrow KL = \left( {SCD} \right) \cap \left( {MNG} \right)\].

Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng\[\left( {MNG} \right)\]là hình thang\[MNKL\left( {MN\parallel KL} \right)\].