Câu hỏi:
13/07/2024 18,376
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình thang, \[AB//CD\] và \[AB = 2CD\]. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy E thuộc cạnh SA, F thuộc cạnh SC sao cho \[\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SC}} = \frac{2}{3}\].
a) Chứng minh đường thẳng AC song song với mặt phẳng \[\left( {BEF} \right)\].
b) Xác định giao điểm N của đường thẳng SD với mặt phẳng \[\left( {BEF} \right)\] , từ đó chỉ ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \[\left( {BEF} \right)\].
c) Gọi \[\left( \alpha \right)\] là mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng \[\left( {BEF} \right)\]. Gọi P là giao điểm của SD với \[\left( \alpha \right)\]. Tính tỉ số \[\frac{{SP}}{{SD}}\].
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình thang, \[AB//CD\] và \[AB = 2CD\]. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy E thuộc cạnh SA, F thuộc cạnh SC sao cho \[\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SC}} = \frac{2}{3}\].
a) Chứng minh đường thẳng AC song song với mặt phẳng \[\left( {BEF} \right)\].
b) Xác định giao điểm N của đường thẳng SD với mặt phẳng \[\left( {BEF} \right)\] , từ đó chỉ ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \[\left( {BEF} \right)\].
c) Gọi \[\left( \alpha \right)\] là mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng \[\left( {BEF} \right)\]. Gọi P là giao điểm của SD với \[\left( \alpha \right)\]. Tính tỉ số \[\frac{{SP}}{{SD}}\].
Câu hỏi trong đề:
Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp:
a) Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường nằm trong mặt phẳng đó.
b) Xác định điểm chung của SD với \[\left( {BEF} \right),\] từ đó xác định thiết diện.
c) Xác định \[\left( \alpha \right).\] Sử dụng định lí Ta-lét.
Cách giải:
a) Áp dụng định lí Ta-lét đảo ta có \[\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow EF{\rm{ // }}AC.\]
Mà \[EF \subset \left( {BEF} \right) \Rightarrow AC{\rm{ // }}\left( {BEF} \right).\]
b) Trong \[\left( {SAC} \right)\] gọi
\[I = SO \cap EF \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in EF \Rightarrow I \in \left( {BEF} \right) \Rightarrow BI \subset \left( {BEF} \right)\\I \in SO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow I \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right..\]
Trong \[\left( {SBD} \right)\] gọi \[N = BI \cap SD\] ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}N \in SD\\N \in BI \subset \left( {BEF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow N = SD \cap \left( {BEF} \right).\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {BEF} \right) \cap \left( {SAB} \right) = BE\\\left( {BEF} \right) \cap \left( {SAD} \right) = EN\\\left( {BEF} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NF\\\left( {BEF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = FB\end{array} \right. \Rightarrow \] Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \[\left( {BEF} \right)\] là tứ giác BENF.
c) Ta có AC qua O và \[AC{\rm{ // }}EF \Rightarrow AC \subset \left( \alpha \right).\]
Trong \[\left( {SAD} \right)\] qua A kẻ \[AP{\rm{ // }}EN\left( {P \in SD} \right) \Rightarrow AP{\rm{ // }}\left( {BEF} \right) \Leftrightarrow AP \subset \left( \alpha \right).\]
Khi đó ta có \[\left( \alpha \right) \equiv \left( {BEF} \right).\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( {SBD} \right) = OP\\\left( {BEF} \right) \cap \left( {SBD} \right) = BN\\\left( \alpha \right){\rm{ // }}\left( {BEF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OP{\rm{ // }}BN.\]
Áp dụng đinh lí Ta-lét ta có: \[\frac{{DP}}{{DN}} = \frac{{DO}}{{DB}}.\]
Ta có: \[\frac{{DO}}{{OB}} = \frac{{DC}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{DO}}{{DB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{DP}}{{DN}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{DP}}{{PN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow DP = \frac{1}{2}NP.\]
Lại áp dụng định lí Ta-lét ta có: \[\frac{{SN}}{{SP}} = \frac{{SE}}{{SA}} = \frac{2}{3}\left( {AP{\rm{ // }}EN} \right) \Rightarrow \frac{{SN}}{{NP}} = 2 \Rightarrow SN = 2NP.\]
Từ đó ta có \[\frac{{SP}}{{SD}} = \frac{{SN + NP}}{{SN + NP + DP}} = \frac{{2NP + NP}}{{2NP + NP + \frac{1}{2}NP}} = \frac{{3NP}}{{\frac{7}{2}NP}} = \frac{6}{7}.\]
Vậy \[\frac{{SP}}{{SD}} = \frac{6}{7}.\]
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_1} = 2\], \[d = 9\]. Khi đó số 2018 là số hạng thứ mấy trong dãy?
Xem đáp án »
03/02/2023
20,001
Câu 2:
Phương trình \[\sin x = \frac{1}{2}\] có bao nhiêu nghiệm trên đoạn \[\left[ {0;20\pi } \right]\]?
Xem đáp án »
03/02/2023
9,199
Câu 4:
Cho cấp số nhân \[\left( {{U_n}} \right),\,n \ge 1\] với công bội \[q = 2\] và có số hạng thứ hai \[{U_2} = 5\]. Số hạng thứ 7 của cấp số là:
Xem đáp án »
03/02/2023
4,230
Câu 5:
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có ba chữ số. Tính xác suất để số được chọn không vượt quá 600, đồng thời nó chia hết cho 5.
Xem đáp án »
03/02/2023
4,168
Câu 6:
Cho dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{{n + 2018}}{{2018n + 1}}\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Xem đáp án »
03/02/2023
4,135
về câu hỏi!