Trong không gian cho Oxyz, Aa;0;0, B0;b;0, C0;0;c, Da+ab2+c2;ba2+c2;ca2+b2 (a>0, b>0, c>0). Diện tích tam giác ABC bằng 32. Tìm khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) khi VA.BCD đạt giá trị lớn nhất. A....

Chọn A AB→=-a;b;0, AC→=a,0,c, AD→=ab2+c2;ba2+c2;ca2+b2AB→,AC→=b00c;0−ac−a;−ab−a0=bc;ac;ab.Vì diện tích tam giác bằng 32 nên: SΔABC=32⇔12AB→,AC→=32⇔12(ab)2+(bc)2+(ac)2=32⇔(ab)2+(bc)2+(ac)2=3.Thể tích của tứ diện ABCD là:VABCD=16AB→,AC→.AD→=16abcb2+c2+abca2+c2+abca2+b2=16bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2)2 ≤[(bc)2+(ac)2+(ab)2](a2b2+a2c2+a2b2+b2c2+a2c2+b2c2)⇔(bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2)2≤2[(bc)2+(ac)2+(ab)2]2⇔(bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2)2≤2.32⇔(bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2)2≤18⇔bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2≤32VA.BCD≤326 hay VA.BCD≤22.nên maxVA.BCD=22. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.Ta có: AC→=−1;0;1,AD→=2;2;2.Nên: AC→,AD→=0122;1−122;−1022=−2;22;−2.Do đó: SΔACD=12AC→,AD→=1212=3.Vậy d(B,(ACD))=3VA.BCDSΔACD=3.223=62.

Câu hỏi:

04/02/2023 1,450

Trong không gian cho Oxyz, $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ , $D (a + a \sqrt{b^{2} + c^{2}}; b \sqrt{a^{2} + c^{2}}; c \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ (a>0, b>0, c>0). Diện tích tam giác ABC bằng $\frac{\sqrt{3}}{2} .$ Tìm khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) khi $V_{A . B C D}$ đạt giá trị lớn nhất.

\frac{\sqrt{6}}{2}

\sqrt{3}

\sqrt{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A

\vec{A B} = (- a; b; 0), \vec{A C} = (a, 0, c), \vec{A D} = (a \sqrt{b^{2} + c^{2}}; b \sqrt{a^{2} + c^{2}}; c \sqrt{a^{2} + b^{2}}) [\vec{A B}, \vec{A C}] = (|\begin{matrix} b & 0 \\ 0 & c \end{matrix}|; |\begin{matrix} 0 & - a \\ c & - a \end{matrix}|; |\begin{matrix} - a & b \\ - a & 0 \end{matrix}|) = (b c; a c; a b)

.
Vì diện tích tam giác bằng

\frac{\sqrt{3}}{2}

nên:

S_{Δ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sqrt{{(a b)}^{2} + {(b c)}^{2} + {(a c)}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow {(a b)}^{2} + {(b c)}^{2} + {(a c)}^{2} = 3

.
Thể tích của tứ diện ABCD là:

V_{A B C D} = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D}| = \frac{1}{6} |a b c \sqrt{b^{2} + c^{2}} + a b c \sqrt{a^{2} + c^{2}} + a b c \sqrt{a^{2} + b^{2}}| = \frac{1}{6} |b c \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2}} + a c \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2}} + a b \sqrt{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}}|

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

{(b c \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2}} + a c \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2}} + a b \sqrt{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}})}^{2}

\leq [{(b c)}^{2} + {(a c)}^{2} + {(a b)}^{2}](a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}) \Leftrightarrow {(b c \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2}} + a c \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2}} + a b \sqrt{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}})}^{2} \leq 2 {[{(b c)}^{2} + {(a c)}^{2} + {(a b)}^{2}]}^{2} \Leftrightarrow {(b c \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2}} + a c \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2}} + a b \sqrt{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}})}^{2} \leq {2.3}^{2} \Leftrightarrow {(b c \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2}} + a c \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2}} + a b \sqrt{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}})}^{2} \leq 18 \Leftrightarrow |b c \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2}} + a c \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2}} + a b \sqrt{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}}| \leq 3 \sqrt{2}

V_{A . B C D} \leq \frac{3 \sqrt{2}}{6}

hay

V_{A . B C D} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}

.
nên

\max V_{A . B C D} = \frac{\sqrt{2}}{2}

. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

a = b = c = 1

.
Ta có:

\vec{A C} = (- 1; 0; 1), \vec{A D} = (\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{2})

.
Nên:

[\vec{A C}, \vec{A D}] = (|\begin{matrix} 0 & 1 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & - 1 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 1 & 0 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{matrix}|) = (- \sqrt{2}; 2 \sqrt{2}; - \sqrt{2})

.
Do đó:

S_{Δ A C D} = \frac{1}{2} |[\vec{A C}, \vec{A D}]| = \frac{1}{2} \sqrt{12} = \sqrt{3}

.
Vậy

d (B, (A C D)) = \frac{3 V_{A . B C D}}{S_{Δ A C D}} = \frac{3. \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2}

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a là

V = \frac{π a^{3} \sqrt{6}}{8}

V = \frac{π a^{3} \sqrt{6}}{4}

V = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{8}

V = \frac{π a^{2} \sqrt{6}}{8}

Lời giải

Chọn A

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp

Δ A B C

.
Vì ABCD là tứ diện đều nên DH là trục của đường tròn ngoại tiếp

Δ A B C

.
Mặt phẳng trung trực của cạnh AD cắt DH tại I suy ra ID là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Gọi M là trung điểm cạnh AD ta có

Δ D M I ∽ Δ D H A

\Rightarrow \frac{D M}{D H} = \frac{D I}{D A}

\Rightarrow I D = \frac{D A^{2}}{2 D H} = \frac{A D^{2}}{2. \sqrt{A D^{2} - A H^{2}}} = \frac{a^{2}}{2 \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{\sqrt{3}})}^{2}}} = \frac{a \sqrt{6}}{4}

.
Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

V = \frac{4}{3} π . I D^{3} = \frac{4}{3} π . {(\frac{a \sqrt{6}}{4})}^{3} = \frac{π a^{3} \sqrt{6}}{8} .

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (0; 1; 2), B (2; - 2; 1)$ , $C (- 2; 1; 0)$ . Khi đó mặt phẳng (ABC) có phương trình là

x + y - z + 1 = 0

6 x + y - z - 6 = 0

x - y + z + 6 = 0

x + y - z - 3 = 0

Lời giải

Chọn A

Ta có

\vec{A B} = (2; - 3; - 1), \vec{A C} = (- 2; 0; - 2)

; Vì

[\vec{A B}, \vec{A C}] = (6; 6; - 6)

nên một vectơ pháp tuyến của (ABC) là

\vec{n} = (1; 1; - 1)

.
Ta có (ABC) qua

A (0; 1; 2)

và nhận

\vec{n} = (1; 1; - 1)

làm vectơ pháp tuyến nên (ABC)có phương trình là

1 (x - 0) + 1 (y - 1) - 1 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (1; 2; 5), B (3; 0; - 1)$ . Mặt phẳng trung trực của AB đoạn thẳng có phương trình là

x + y - 3 z + 6 = 0

x - y - 3 z + 5 = 0

x - y - 3 z + 1 = 0

2 x + y + 2 z + 10 = 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Biết rằng $\int_{0}^{3} \frac{1 - e^{3 x}}{e^{2 x} + e^{x} + 1} d x = a - e^{b}$ với $a, b \in ℤ$ , hãy tính $b - a$ .

b - a = 1

b - a = - 1

b - a = 7

b - a = - 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một quần thể virut Corona P đang thay đổi với tốc độ $P^{'} (t) = \frac{5000}{1 + 0, 2 t}$ , trong đó t là thời gian tính bằng giờ. Quần thể virut Corona P ban đầu (khi $t = 0$ ) có số lượng là 1000 con. Số lượng virut Corona sau 3 giờ gần với số nào sau đây nhất?

A. 16000.

B. 21750.

C. 12750.

D. 11750.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \cos x - \sin x$ là

2 \sin x - \cos x + C

- 2 \sin x - \cos x + C

2 \sin x + \cos x + C

- 2 \sin x + \cos x + C

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ , $C (0; 0; 4)$ , $M (0; 0; 3)$ . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC).

\frac{4 \sqrt{21}}{21}

\frac{2}{21}

\frac{1}{21}

\frac{3 \sqrt{21}}{21}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử