Trong không gian cho Oxyz, Aa;0;0, B0;b;0, C0;0;c, Da+ab2+c2;ba2+c2;ca2+b2 (a>0, b>0, c>0). Diện tích tam giác ABC bằng 32. Tìm khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) khi VA.BCD đạt giá trị lớn nhất. A....

Chọn A AB→=-a;b;0, AC→=a,0,c, AD→=ab2+c2;ba2+c2;ca2+b2AB→,AC→=b00c;0−ac−a;−ab−a0=bc;ac;ab.Vì diện tích tam giác bằng 32 nên: SΔABC=32⇔12AB→,AC→=32⇔12(ab)2+(bc)2+(ac)2=32⇔(ab)2+(bc)2+(ac)2=3.Thể tích của tứ diện ABCD là:VABCD=16AB→,AC→.AD→=16abcb2+c2+abca2+c2+abca2+b2=16bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2)2 ≤[(bc)2+(ac)2+(ab)2](a2b2+a2c2+a2b2+b2c2+a2c2+b2c2)⇔(bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2)2≤2[(bc)2+(ac)2+(ab)2]2⇔(bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2)2≤2.32⇔(bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2)2≤18⇔bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2≤32VA.BCD≤326 hay VA.BCD≤22.nên maxVA.BCD=22. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.Ta có: AC→=−1;0;1,AD→=2;2;2.Nên: AC→,AD→=0122;1−122;−1022=−2;22;−2.Do đó: SΔACD=12AC→,AD→=1212=3.Vậy d(B,(ACD))=3VA.BCDSΔACD=3.223=62.

Câu hỏi:

04/02/2023 1,429

Trong không gian cho Oxyz, $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ , $D (a + a \sqrt{b^{2} + c^{2}}; b \sqrt{a^{2} + c^{2}}; c \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ (a>0, b>0, c>0). Diện tích tam giác ABC bằng $\frac{\sqrt{3}}{2} .$ Tìm khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) khi $V_{A . B C D}$ đạt giá trị lớn nhất.

\frac{\sqrt{6}}{2}

\sqrt{3}

\sqrt{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A

\vec{A B} = (- a; b; 0), \vec{A C} = (a, 0, c), \vec{A D} = (a \sqrt{b^{2} + c^{2}}; b \sqrt{a^{2} + c^{2}}; c \sqrt{a^{2} + b^{2}}) [\vec{A B}, \vec{A C}] = (|\begin{matrix} b & 0 \\ 0 & c \end{matrix}|; |\begin{matrix} 0 & - a \\ c & - a \end{matrix}|; |\begin{matrix} - a & b \\ - a & 0 \end{matrix}|) = (b c; a c; a b)

.
Vì diện tích tam giác bằng

\frac{\sqrt{3}}{2}

nên:

S_{Δ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sqrt{{(a b)}^{2} + {(b c)}^{2} + {(a c)}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow {(a b)}^{2} + {(b c)}^{2} + {(a c)}^{2} = 3

.
Thể tích của tứ diện ABCD là:

V_{A B C D} = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D}| = \frac{1}{6} |a b c \sqrt{b^{2} + c^{2}} + a b c \sqrt{a^{2} + c^{2}} + a b c \sqrt{a^{2} + b^{2}}| = \frac{1}{6} |b c \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2}} + a c \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2}} + a b \sqrt{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}}|

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

{(b c \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2}} + a c \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2}} + a b \sqrt{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}})}^{2}

\leq [{(b c)}^{2} + {(a c)}^{2} + {(a b)}^{2}](a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}) \Leftrightarrow {(b c \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2}} + a c \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2}} + a b \sqrt{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}})}^{2} \leq 2 {[{(b c)}^{2} + {(a c)}^{2} + {(a b)}^{2}]}^{2} \Leftrightarrow {(b c \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2}} + a c \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2}} + a b \sqrt{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}})}^{2} \leq {2.3}^{2} \Leftrightarrow {(b c \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2}} + a c \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2}} + a b \sqrt{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}})}^{2} \leq 18 \Leftrightarrow |b c \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2}} + a c \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2}} + a b \sqrt{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}}| \leq 3 \sqrt{2}

V_{A . B C D} \leq \frac{3 \sqrt{2}}{6}

hay

V_{A . B C D} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}

.
nên

\max V_{A . B C D} = \frac{\sqrt{2}}{2}

. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

a = b = c = 1

.
Ta có:

\vec{A C} = (- 1; 0; 1), \vec{A D} = (\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{2})

.
Nên:

[\vec{A C}, \vec{A D}] = (|\begin{matrix} 0 & 1 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & - 1 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 1 & 0 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{matrix}|) = (- \sqrt{2}; 2 \sqrt{2}; - \sqrt{2})

.
Do đó:

S_{Δ A C D} = \frac{1}{2} |[\vec{A C}, \vec{A D}]| = \frac{1}{2} \sqrt{12} = \sqrt{3}

.
Vậy

d (B, (A C D)) = \frac{3 V_{A . B C D}}{S_{Δ A C D}} = \frac{3. \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2}

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a là

V = \frac{π a^{3} \sqrt{6}}{8}

V = \frac{π a^{3} \sqrt{6}}{4}

V = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{8}

V = \frac{π a^{2} \sqrt{6}}{8}

Lời giải

Chọn A

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp

Δ A B C

.
Vì ABCD là tứ diện đều nên DH là trục của đường tròn ngoại tiếp

Δ A B C

.
Mặt phẳng trung trực của cạnh AD cắt DH tại I suy ra ID là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Gọi M là trung điểm cạnh AD ta có

Δ D M I ∽ Δ D H A

\Rightarrow \frac{D M}{D H} = \frac{D I}{D A}

\Rightarrow I D = \frac{D A^{2}}{2 D H} = \frac{A D^{2}}{2. \sqrt{A D^{2} - A H^{2}}} = \frac{a^{2}}{2 \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{\sqrt{3}})}^{2}}} = \frac{a \sqrt{6}}{4}

.
Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

V = \frac{4}{3} π . I D^{3} = \frac{4}{3} π . {(\frac{a \sqrt{6}}{4})}^{3} = \frac{π a^{3} \sqrt{6}}{8} .

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (0; 1; 2), B (2; - 2; 1)$ , $C (- 2; 1; 0)$ . Khi đó mặt phẳng (ABC) có phương trình là

x + y - z + 1 = 0

6 x + y - z - 6 = 0

x - y + z + 6 = 0

x + y - z - 3 = 0

Lời giải

Chọn A

Ta có

\vec{A B} = (2; - 3; - 1), \vec{A C} = (- 2; 0; - 2)

; Vì

[\vec{A B}, \vec{A C}] = (6; 6; - 6)

nên một vectơ pháp tuyến của (ABC) là

\vec{n} = (1; 1; - 1)

.
Ta có (ABC) qua

A (0; 1; 2)

và nhận

\vec{n} = (1; 1; - 1)

làm vectơ pháp tuyến nên (ABC)có phương trình là

1 (x - 0) + 1 (y - 1) - 1 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (1; 2; 5), B (3; 0; - 1)$ . Mặt phẳng trung trực của AB đoạn thẳng có phương trình là

x + y - 3 z + 6 = 0

x - y - 3 z + 5 = 0

x - y - 3 z + 1 = 0

2 x + y + 2 z + 10 = 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Biết rằng $\int_{0}^{3} \frac{1 - e^{3 x}}{e^{2 x} + e^{x} + 1} d x = a - e^{b}$ với $a, b \in ℤ$ , hãy tính $b - a$ .

b - a = 1

b - a = - 1

b - a = 7

b - a = - 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một quần thể virut Corona P đang thay đổi với tốc độ $P^{'} (t) = \frac{5000}{1 + 0, 2 t}$ , trong đó t là thời gian tính bằng giờ. Quần thể virut Corona P ban đầu (khi $t = 0$ ) có số lượng là 1000 con. Số lượng virut Corona sau 3 giờ gần với số nào sau đây nhất?

A. 16000.

B. 21750.

C. 12750.

D. 11750.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \cos x - \sin x$ là

2 \sin x - \cos x + C

- 2 \sin x - \cos x + C

2 \sin x + \cos x + C

- 2 \sin x + \cos x + C

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ , $C (0; 0; 4)$ , $M (0; 0; 3)$ . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC).

\frac{4 \sqrt{21}}{21}

\frac{2}{21}

\frac{1}{21}

\frac{3 \sqrt{21}}{21}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Trong không gian cho Oxyz, Aa;0;0, B0;b;0, C0;0;c, Da+ab2+c2;ba2+c2;ca2+b2 (a>0, b>0, c>0). Diện tích tam giác ABC bằng 32. Tìm khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) khi VA.BCD đạt giá trị lớn nhất.

Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a là

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A0 ; 1 ; 2,B2 ; − 2 ; 1, C− 2 ; 1 ; 0. Khi đó mặt phẳng (ABC) có phương trình là

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ;2 ;5),B(3 ;0 ; −1). Mặt phẳng trung trực của AB đoạn thẳng có phương trình là

Biết rằng ∫031−e3xe2x+ex+1 dx=a−eb với a, b∈ℤ, hãy tính b−a.

Một quần thể virut Corona P đang thay đổi với tốc độ P't=50001+0,2t, trong đó t là thời gian tính bằng giờ. Quần thể virut Corona P ban đầu (khi t=0) có số lượng là 1000 con. Số lượng virut Corona sau 3 giờ gần với số nào sau đây nhất?

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fx=2cosx−sinx là

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A1;0;0, B0;2;0, C0;0;4, M0; 0; 3. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC).

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (0; 1; 2), B (2; - 2; 1)$ , $C (- 2; 1; 0)$ . Khi đó mặt phẳng (ABC) có phương trình là

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (1; 2; 5), B (3; 0; - 1)$ . Mặt phẳng trung trực của AB đoạn thẳng có phương trình là

Biết rằng $\int_{0}^{3} \frac{1 - e^{3 x}}{e^{2 x} + e^{x} + 1} d x = a - e^{b}$ với $a, b \in ℤ$ , hãy tính $b - a$ .

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \cos x - \sin x$ là

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ , $C (0; 0; 4)$ , $M (0; 0; 3)$ . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC).