Cho hàm số y=f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ

 

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+1}$ có đường tiệm cận đứng là đường thẳng  $x=-\frac{1}{c}$ và đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y=\frac{a}{c}$ .

Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy $-\frac{1}{c}=-1\Rightarrow c=1$ và $\frac{a}{c}=2\Rightarrow a=2$

(vì $c=1$).

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{a-bc}{{\left(cx+1\right)}^2}$.

Vì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(-1;+\infty \right)$ nên

$y^{\text{'}}=\frac{a-bc}{{\left(bx+c\right)}^2}>0\iff a-bc>0\iff 2-b>0\iff b<2\iff b^3<8\iff b^3-8<0$.

Vậy tập các giá trị b là tập nghiệm của bất phương trình $b^3-8<0.$

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2{\left(x-1\right)}^3\left(2-x\right)\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\\ x=2\end{array}\right.$.

Từ đó, ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên (1,2).