Câu hỏi:
08/02/2023 2,177
Cho các số thực không âm \(x,y\) thỏa mãn \(x + y = 1\). Giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của biểu thức \(S = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy\) lần lượt là
Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Chọn C
Cách 1.
Ta có: \(S = 16{x^2}{y^2} + 12\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 34xy\) \( = \) \(16{x^2}{y^2} + 12{\left( {x + y} \right)^3} - 36xy\left( {x + y} \right) + 34xy\)
\( = \) \(16{\left( {xy} \right)^2} - 2xy + 12\).
Đặt \(xy = t\), suy ra \(S = f\left( t \right) = 16{t^2} - 2t + 12\).
Nhận thấy: \(x,y \ge 0,x + y = 1\)và \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\) với \(\forall x,y\) nên \(0 \le t \le \frac{1}{4}\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 16{t^2} - 2t + 12\) với \(t \in \left[ {0;\frac{1}{4}} \right]\).
Có: \(f'\left( x \right) = 32t - 2\) \( \Rightarrow \) \(f'\left( t \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \) \(t = \frac{1}{{16}}\) \( \in \left[ {0;\frac{1}{4}} \right]\).
Ta thấy \(f\left( 0 \right) = 12,f\left( {\frac{1}{{16}}} \right) = \frac{{191}}{{16}},f\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{{25}}{2}\).
Suy ra giá trị lớn nhất của \(f\left( t \right)\) bằng \(\frac{{25}}{2}\) và giá trị nhỏ nhất của \(f\left( t \right)\) bằng \(\frac{{191}}{{16}}\).
Vậy \(M = \frac{{25}}{2},m = \frac{{191}}{{16}}\).
Cách 2. Giả sử \(x \ge y\), do \(x,y \ge 0\) và \(x + y = 1\) nên \(\frac{1}{2} \le x \le 1\).
Có \(S = \left[ {4{x^2} + 3\left( {1 - x} \right)} \right]\left[ {4{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 3x} \right] + 25x\left( {1 - x} \right)\)\( = \) \(\left( {4{x^2} - 3x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 5x + 4} \right) + 25x\left( {1 - x} \right)\)
\( = \)\(16{x^4} - 32{x^3} + 18{x^2} - 2x + 12\).
Đặt \(f\left( x \right) = 16{x^4} - 32{x^3} + 18{x^2} - 2x + 12\), \(x \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\).
Từ đây ta cũng tìm được \(M = \frac{{25}}{2},m = \frac{{191}}{{16}}\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {3 - 2x} \right)\).
Ta có \(g'\left( x \right) = - 2f'\left( {3 - 2x} \right)\). Suy ra \[g'\left( x \right) = - 2f'\left( {3 - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - 2x = - 3\\3 - 2x = - 1\\3 - 2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 2\\x = 1\end{array} \right.\].
Ta có bảng xét dấu \(g'\left( x \right)\) như sau:
Từ bảng xét dấu của \(g'\left( x \right)\) suy ra hàm số \(y = f\left( {3 - 2x} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {3\,;\, + \infty } \right)\).
Lời giải
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số \(y = {x^3} + 2x\)
Ta có: \[y' = 3{x^2} + 2 > 0\,\forall x\] nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo