Câu hỏi:

08/02/2023 1,116

Cho các số thực không âm \(x,y\) thỏa mãn \(x + y = 1\). Giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của biểu thức \(S = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy\) lần lượt là

Đáp án chính xác

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Chọn C
Cách 1.
Ta có: \(S = 16{x^2}{y^2} + 12\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 34xy\) \( = \) \(16{x^2}{y^2} + 12{\left( {x + y} \right)^3} - 36xy\left( {x + y} \right) + 34xy\)
\( = \) \(16{\left( {xy} \right)^2} - 2xy + 12\).
Đặt \(xy = t\), suy ra \(S = f\left( t \right) = 16{t^2} - 2t + 12\).
Nhận thấy: \(x,y \ge 0,x + y = 1\)và \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\) với \(\forall x,y\) nên \(0 \le t \le \frac{1}{4}\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 16{t^2} - 2t + 12\) với \(t \in \left[ {0;\frac{1}{4}} \right]\).
Có: \(f'\left( x \right) = 32t - 2\) \( \Rightarrow \) \(f'\left( t \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \) \(t = \frac{1}{{16}}\) \( \in \left[ {0;\frac{1}{4}} \right]\).
Ta thấy \(f\left( 0 \right) = 12,f\left( {\frac{1}{{16}}} \right) = \frac{{191}}{{16}},f\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{{25}}{2}\).
Suy ra giá trị lớn nhất của \(f\left( t \right)\) bằng \(\frac{{25}}{2}\) và giá trị nhỏ nhất của \(f\left( t \right)\) bằng \(\frac{{191}}{{16}}\).
Vậy \(M = \frac{{25}}{2},m = \frac{{191}}{{16}}\).
Cách 2. Giả sử \(x \ge y\), do \(x,y \ge 0\) và \(x + y = 1\) nên \(\frac{1}{2} \le x \le 1\).
Có \(S = \left[ {4{x^2} + 3\left( {1 - x} \right)} \right]\left[ {4{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 3x} \right] + 25x\left( {1 - x} \right)\)\( = \) \(\left( {4{x^2} - 3x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 5x + 4} \right) + 25x\left( {1 - x} \right)\)
\( = \)\(16{x^4} - 32{x^3} + 18{x^2} - 2x + 12\).
Đặt \(f\left( x \right) = 16{x^4} - 32{x^3} + 18{x^2} - 2x + 12\), \(x \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\).
Từ đây ta cũng tìm được \(M = \frac{{25}}{2},m = \frac{{191}}{{16}}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), có bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\) như sau:

Media VietJack

Hàm số \(y = f\left( {3 - 2x} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án » 08/02/2023 55,690

Câu 2:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

Xem đáp án » 07/02/2023 32,036

Câu 3:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm\(f'\left( x \right) = x{\left( {x + 1} \right)^2},\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Xem đáp án » 08/02/2023 16,360

Câu 4:

Hình chóp \(S.ABCD\) đáy hình vuông, \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 3 ,AC = a\sqrt 2 \). Khi đó thể tích khối chóp \(S.ABCD\)

Xem đáp án » 08/02/2023 9,197

Câu 5:

Tập tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để hàm số \[y = {x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 1\] đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]

Xem đáp án » 08/02/2023 8,904

Câu 6:

Số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 5x\] và đường thẳng \[y = x\] là

Xem đáp án » 08/02/2023 6,266

Câu 7:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] sao cho hàm số \[y = \frac{{mx + 9}}{{x + m}}\] nghịch biến trên từng khoảng xác định

Xem đáp án » 08/02/2023 5,995

Bình luận


Bình luận
Đăng ký gói thi VIP

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Vietjack official store