Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm thuộc đồ thị \(\left( C \right):y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) biết \({x_M} < - 1 < {x_N}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn \(MN\)?
A. \(2\sqrt 2 \).
B. \(6\).
C. \(4\).
D. \(4\sqrt 2 \).
Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = + \infty \) nên đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là \(x = - 1\).
Do \({x_M} < - 1 < {x_N}\) nên \(M\), \(N\) là hai điểm nằm trên hai nhánh của đồ thị \(\left( C \right)\).
Ta có: \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 1 - \frac{2}{{x + 1}}\) và \(M\left( {{x_M}\,;\,1 - \frac{2}{{{x_M} + 1}}} \right)\), \(N\left( {{x_N}\,;\,1 - \frac{2}{{{x_N} + 1}}} \right)\).
Đặt \(a = {x_N} + 1\), \(b = - 1 - {x_M}\) thì \(a > 0\), \(b > 0\) và \(M\left( { - b - 1\,;\,1 + \frac{2}{b}} \right)\), \(N\left( {a - 1\,;\,1 - \frac{2}{a}} \right)\).
Khi đó: \(MN = \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{a} + \frac{2}{b}} \right)}^2}} = \sqrt {\left( {{a^2} + \frac{4}{{{a^2}}}} \right) + \left( {2ab + \frac{8}{{ab}}} \right) + \left( {{b^2} + \frac{4}{{{b^2}}}} \right)} \).
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số dương:
\({a^2} + \frac{4}{{{a^2}}} \ge 2\sqrt {{a^2}.\frac{4}{{{a^2}}}} = 4\). Dấu “=” xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \frac{4}{{{a^2}}}\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{a}\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \sqrt 2 \].
\({b^2} + \frac{4}{{{b^2}}} \ge 2\sqrt {{b^2}.\frac{4}{{{b^2}}}} = 4\). Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{b^2} = \frac{4}{{{b^2}}}\\b > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{2}{b}\\b > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow b = \sqrt 2 \).
\(2ab + \frac{8}{{ab}} \ge 2\sqrt {2ab.\frac{8}{{ab}}} = 8\). Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}2ab = \frac{8}{{ab}}\\a,b > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow ab = 2\).
Vậy \(MN \ge \sqrt {4 + 4 + 8} = 4\). Tức là \({\rm{Min}}\,MN = 4\) khi \(a = b = \sqrt 2 \).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(9\).
B. \(3\).
C. \(0\).
D. \(2\).
Lời giải
Lời giải
Tập xác định: \(D = \left[ { - 3;3} \right]\).
Hàm số liên tục trên \(\left[ { - 3;3} \right]\).
\(y' = \frac{{ - x}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left[ { - 3;3} \right]\).
\(y\left( 0 \right) = 3;y\left( { - 3} \right) = 0;y\left( 3 \right) = 0\).
Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} y = 3 = y\left( 0 \right)\].
Câu 2
A. \[y = {x^4} - 2{x^2} - 1\].
B. \[y = {x^3} - 3x - 1\].
C. \[y = - {x^4} + 2{x^2} - 1\].
D. \[y = - {x^4} + 2x - 1\].
Lời giải
Lời giải
Đồ thị hàm số có \[2\] cực đại là \[\left( { - 1;\,0} \right)\] và \[\left( {1;\,0} \right)\]; \[1\] cực tiểu là \[\left( {0;\, - 1} \right)\]
\[ \Rightarrow \] đáp án C thoả mãn.
Câu 3
A. \(y = {x^4} - 2{x^2}\).
B. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\).
C. \(y = 3x - {x^3}\).
D. \(y = {x^3} - 3x\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
B. \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).
C. \(y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\).
D. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 1\).
B. Hàm số luôn tăng trên từng khoảng xác định.
C. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 1\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
, SC = 4SP. Thể tích của khối đa diện ABCMNPA. \(10\).
B. \(11\).
C. \(6\).
D. \(4\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \[4\].
B. \[6\].
C. \[7\].
D. \[5\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập